多准则决策清华大学姜启源

多准则决策及其在数学建模中的应用清华大学姜启源[e-mail]•多准则决策概述•多属性决策的一般步骤•多属性决策应用过程中几种主要方法的比较•层次分析法与多属性决策和多属性效用理论的关系提要•多属性决策（MADM,MultipleAttributeDecisionMaking）多准则决策（MCDM,MultipleCriteriaDecisionMaking）•多目标决策（MODM,MultipleObjectiveDecisionMaking）【多属性效用理论（MAUT,Multi-AttributeUtilityTheory）】MADM：为了一个特定的目的在若干备选方案中确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排序，或者给出优劣程度的数量结果,而方案的优劣由若干属性给以定量或定性的表述。MODM：为了若干特定的（一般是相互矛盾的）目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的，而备选方案集合由一些约束条件给定。MODM又称多目标优化或目标规划多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述多属性决策（MADM）与多目标决策（MODM）应用领域非常广泛•MODM：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘客和航空公司双方利益的航班安排、2011B题交警平台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安排方案要考虑公平和效率两方面、2009D题会议筹备要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等…•MADM：国家综合实力评价、大学排名榜、公司新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评价、2009B题病床安排的合理性指标……多属性决策(MADM)的一般步骤•要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、属性权重、综合方法.备选方案组：由实际问题决定.1.备选方案组与属性集合确定属性集合的原则：•全面考虑，选取影响力（或重要性）强的.•属性间尽量独立（至少相关性不太强）.•不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）.•若数量太多（如大于7个），应将它们分层.•尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次.2．决策矩阵——备选方案对每一属性的属性值例选择战斗机(4种型号)备选方案属性X1X2X3X4X5X6A1A2A3A4X1~最高速度(马赫),X2航程(千海里),X3~最大载荷(千磅)X4~价格(百万美元),X5~可靠性,X6~机动性.各方案对属性的定量取值或定性表述2.02.51.82.21.5205.52.7186.52.0214.51.8205.0中很高低中高高中中550.5208.12.2775.4210.28.1535.6187.25.2955.5205.10.2D对X5,X6表述的量化：“很高”、“高”、“中”、“低”、“很低”记分9,7,5,3,1，设有m个备选方案A1,A2,…,Am,n个属性X1,X2,…,Xn0,)(ijnmijddD~决策矩阵例选择战斗机Ai对Xj的取值dij~属性值决策矩阵（属性值）的获取•调查、度量各方案对属性的取值(偏于客观)•通过成对比较，从正互反阵解出特征向量(偏于主观)~层次分析法dij作比例尺度变换ijmiijijddr,2,1maxmiijijijddr1miijijijddr1210ijr决策矩阵标准化R的列最大值为1~最大化R的列和为1~归一化R的列模为1~模一化ijmiijmiijmiijijddddr,2,1,2,1,2,1minmaxmindij作区间尺度变换R的列最小值为0（最大值为1）属性值的物理意义(包括量纲)各不相同mnmjmnjddddddD11111mnmjmnjrrrrrrR11111效益型属性值单调增决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:属性值(对决策优劣)的性质•单调性•线性性对于明显呈非线性的属性值（如边际效益递减），需先拟合合适的函数作变换.miijijijddr111归一化ijiijijddr1max1最大化费用型属性值单调减注意非单调性属性的标准化处理ijijiddmin3．属性权重X1,X2,…,Xn的权重Tn),,,(21，njjw11属性权重的获取•层次分析法：用成对比较矩阵解出特征向量偏于主观•根据决策目标通过经验、调查等先验地给出•信息熵法(借用信息论中熵的概念)偏于客观熵~信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率)分布越趋于一致，不确定性越大.将归一化决策矩阵R列向量~A1,…,Am对Xj的属性值)1(,,,121miijmjjjrrrr视为信息量的分布mkrrkEmiijijjln1,ln1A1,…,Am对属性Xj的熵为rij越一致,Ej越接近1jjEF1定义Xj对于方案的区分度10jEnjjjjFFw1可用rij的均方差或极差代替Fj属性权重•信息熵法25.020.005.025.020.015.025.030.030.025.030.050.0R]1986.0824.0[E]0014.0176.0[F例1)/1,,/1(),,(1jmjjEmmrr时0),0,1,0,0(),,(1jmjjErr时不易区分方案优劣以上方法的综合记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为,),,,()1()1(2)1(1)1(TnTn),,,()2()2(2)2(1)2(,njjjjjj)2()1()2()1()(njjjjjj)2()1()2()1()(Tn),,,(21综合权重α,β根据决策者对w(1),w(2)的偏好程度进行调节或各种方法的详细步骤参看：HwangC.L.andYoonK.MultipleAttributeDecisionMaking——MethodsandApplications.Berlin/Heidelberg/NewYorkSpringer-Verlag,19814．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策徐玖平，吴巍编著多属性决策的理论与方法.北京清华大学出版社2006粗糙模糊确定随机4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策按照决策者掌握的属性信息量的多少将方法分类•没有任何属性信息占优法最大最小法•给定各属性的最低水平合取法析取法•已知各属性权重的顺序字典序法排列法•已知各属性权重的数值简单加权和法加权积法线性分配法接近理想解的排序法删除选择法1.简单加权和法（SAW,SimpleAdditiveWeighting）njjijnjijimiwrvv11,,2,1,•隐含假设：属性相互独立，各属性值对整体评价的影响可以叠加，因而各个属性具有互补性.nmijrR)(Tn),,,(21方案Ai对n个属性的综合取值为•对决策矩阵采用不同的标准化方法（归一化、最大化），得到的结果会有差别.TmvvvRwv),,(,1或2.加权积法（WP,WeightedProduct）njwijimidvj1,,2,1,•可以直接用方案对属性的原始值dij，不需要标准化•若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的权重应取负值.将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：3.接近理想解的排序法（TOPSIS）n个属性、m个方案视为n维空间中m个点的几何系统•每个点的坐标由确定•在空间中定义欧氏距离，决策矩阵模一化•正理想解由所有最优加权属性值构成•负理想解由所有最劣加权属性值构成•定义距正理想解近、距负理想解远的数量指标——相对接近度•备选方案的优劣顺序按照相对接近度确定mivvvinii,,1),,,(214.删除选择法（ELECTRE）•比较每一对方案{Ai,Ak}的加权属性值vij和vkj,按照vij≥vkj和vijvkj将属性集分为一致集和矛盾集.•利用属性值和权重定义一致性指标cik和矛盾性指标dik,cik越大,dik越小,Ai越优于Ak.将欧氏距离改为街区距离,且决策矩阵归一化或最大化TOPSIS方法等价于简单加权和法的情况:dc,•确定度量cik,dik的阈值,时Ai优于Ak,由此决定删除和选择的方案.dc,ddccikik,应用过程中几种主要方法的比较方法方案SAWWPTOPSISELECTREA12211A24443A31121A43333例选择战斗机方案排序基本一致：A3，A1优于A4，A24种方法对方案的优劣排序方法方案SAW(R最大化)SAW(R归一化)WPTOPSISA10.2660.2690.2690.350A20.2260.2230.2190.146A30.2720.2740.2760.334A40.2360.2340.2360.170用SAW，WP，TOPSIS计算的数值结果例选择战斗机A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2用各种方法得到的结果没有显著差别几种方法的集成“多属性决策(MADM)方法选择本身就是一个MADM问题”•甄选：利用占优法、和取法、字典序法等将被占优的、不可接受的方案删除.•排序或计算：分别利用SAW,WP,TOPSIS等对方案按照优劣排序或计算数值结果.•集成：对几种方法得到的排序或数值结果进行集成.平均法Borda数法加权和法与其寻找最好方法，不如将几种方法的结果加以集成.•简单、方便的SAW适用于日常生活中大多数多属性决策问题.•一些重大决策不妨采用思路更缜密、计算手段更全面的TOPSIS,ELECTRE方法，或者将几种方法加以集成.•多数文献通过实例进行对比，认为一些主要方法得到的结果没有显著差异，但不能得出一般的结论.应当在确定属性集合及属性权重上多花些精力，它们对最终决策的影响比不同方法的选择要大得多.结论与建议AHP的基本步骤1.建立层次分析结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量（主右特征向量）并作一致性检验4.由各层的权向量计算组合权向量层次分析法(AHP)与多属性决策(MADM)和多属性效用理论(MAUT)的关系•AHP的提出（20世纪80年代）比MAUT稍晚.•AHP的应用领域与MAUT相近.•AHP可视为MADM的方法之一，MADM的加权和法是AHP的特例.•AHP与MAUT在学术上的争论一直存在.AHP应用中的几个问题1.决策矩阵中属性值的获得•相对度量——对每一准则由各方案的成对比较阵和特征向量得到.•绝对度量——按每一准则的特性划分为若干等级，各方案“对号入座”博士硕士学士高中初中教育经验品质…职员晋升杰出丰富中等较少无优秀良好中等偏下差按每位职员的教育、经验、品质、…情况划入相应的等级适用于了解不够的新问题适用于了解充分的老问题2.决策矩阵中属性值的标准化•分配模式(DistributiveMode),即归一化当某一方案的属性值改变时，其他方案的属性值随之改变•理想模式(IdealMode),即最大化任一方案的属性值独立于标准方案外的其他方案决策者关心每个方案支配（占优）其他方案的程度决策者关心每个方案相对标准方案的优劣‘‘gettingawellperformingcar’’‘‘gettingacarthatstandsout’’amongthealternativespurchasedbyco-workers当新方案加入（或旧方案退出）时原方案的优劣排序是保持还是会逆转？3.方案排序的保持或逆转（准则权重不变）模拟实验（2~9个准则、2~9个方案加入一新方案，每种情况模拟1000次）表明：对分配模式(DM)原方案属性值改变，排序可能改变.对理想模式(IM)原方案排序不变，但当新方案属性值高于原方案时，原方案排序可能改变.原方案优劣排序不变的占80%以上.用绝对量测，新方案加入时原方案优劣排序不变.