全国名校高考专题训练3-数列解答题2(数学)

七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载本资料来源于《七彩教育网》数列与数学归纳法三、解答题(二)51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数,1)21(,)1,1()(fxf上有意义在且任意的x、)1,1(y都有).1()()(xyyxfyfxf（1）若数列).(),(12,21}{*211nnnnnxfNnxxxxx求满足（2）求)21()131()111()51(12nfnnfff的值.解：（1）.211|12|||21122xxxxxnnnn又1|12|2nnxx1)21()(1fxf而).(2)()()1()12()(21nnnnnnnnnnxfxfxfxxxxfxxfxf2)()(1nnxfxf12)(,2,1)}({nnnxfxf故为公比的等比数列以为首项是以（2）由题设，有0)0(),0()0100()0()0(fffff故又,0)0()1()()(),1,1(2fxxxfxfxfx有得)1,1()(),()(在故知xfxfxf上为奇函数.由1)2)(1(11312kkkk)2)(1(112111)2)(1(11)2)(1(1kkkkkkkk得)21()11()21()11()131(2kfkfkfkfkkf于是nknfnffkkf12).21(1)21()21()131(七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载故.0)21()131()111()51(12nfnnfff52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列{}na的前n项和nS满足：(1)1nnaSaa（a为常数，且0,1aa）．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设21nnnSba，若数列{}nb为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111nnncaa，数列{}nc的前n项和为Tn求证：123nTn．解：（Ⅰ）11(1),1－aSaa∴1,aa当2n时，11,11nnnnnaaaSSaaaa1nnaaa，即{}na是等比数列．∴1nnnaaaa；……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)(31)211(1)nnnnnaaaaaabaaa，若{}nb为等比数列，则有2213,bbb而21232323223,,,aaabbbaa故22232322()3aaaaa，解得13a，………………………………7分再将13a代入得3nnb成立，所以13a．………………………………………………………………8分（III）证明：由（Ⅱ）知1()3nna，所以11111331131311()1()33nnnnnnnc111311311111131313131nnnnnn1112()3131nn，…………………………………………………9分由111111,313313nnnn得111111,313133nnnn所以1113112()2()313133＋nnnnnc，……………………12分七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载从而122231111111[2()][2()][2()]333333nnnnTccc22311111112[()()()]333333nnn11112()2333nnn．即123nTn．…………………………14分53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列。（I）求c的值；（II）求na的通项公式。（III）（理做文不做）由数列na中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{bn}，求nnnbb1lim的值。解：（I）12a，22ac，323ac，因为1a，2a，3a成等比数列，所以2(2)2(23)cc，解得0c或2c．当0c时，123aaa，不符合题意舍去，故2c．……理4分（文6分）（II）当2n≥时，由于21aac，322aac，……1(1)nnaanc，所以1(1)[12(1)]2nnnaancc。又12a，2c，故22(1)2(23)nannnnn，，．当n=1时，上式也成立，所以22(12)nannn，，……理8分（文12分）（III）bn=32n-2-3n-1+2,∴nnnbb1lim=9.……理12分54、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知数列{}na中，*1111,(),()2nnnaaanN七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载（1）求证：数列2{}na与*21{}()nanN都是等比数列；（2）求数列{}na前2n的和2nT；（3）若数列{}na前2n的和为2nT，不等式222643(1)nnnTaka对*nN恒成立，求k的最大值。解：（1）∵11()2nnnaa，∴212nnaa2分∴数列1321,,,,naaa是以1为首项，12为公比的等比数列；数列242,,,,naaa是以12为首项，12为公比的等比数列。4分（2）213212421111()[1()]222()()111122nnnnnTaaaaaa133()2n9分（3）22211164643(1)64[33()]()33()2642222nnnnnnnnTakakk642162nn当且仅当3n时取等号，所以6416k，即48k，∴k的最大值为－4855、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知等差数列na的公差大于0,且53,aa是方程045142xx的两根,数列nb的前n项的和为nS，且nnbS211.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记nnnbac,求证：nncc1.解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程045142xx的两根，且数列}{na的公差d0，∴a3=5，a5=9，公差.23535aad∴.12)5(5ndnaan………………3分又当n=1时，有b1=S1=1－.32,2111bb当).2(31),(21,2111nbbbbSSbnnnnnnnn有时七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载∴数列{bn}是等比数列，.31,321qb∴.3211nnnqbb…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,3)12(2,3)12(211nnnnnnncnbac…………9分∴.03)1(83)12(23)12(2111nnnnnnnncc∴.1nncc…………………………12分56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有23333231nnSaaaa，记Sn为数列{an}的前n项和.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若nannnb2)1(31（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意n∈N+，都有bn+1bn.解：（1）在已知式中，当n=1时，2131aa∵a10∴a1=1………………………………………………………………1分当n≥2时，23333231nnSaaaa①2131333231nnSaaaa②①－②得，322111nnnnnnnaSSSSSS∵an0∴2na=1nnSS=2Sn－an∵a1=1适合上式…………………………3分.当n≥2时，21na=2Sn－1－an－1④③－④得2na－21na=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+an－1=an+an－1∵an+an－10∴an－an－1=1∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………5分（2）∵113(1)23(1)2nannnnnnnanb02)1(332]2)1(3[]2)1(3[11111nnnnnnnnnnnbb∴11)23()1(nn⑤………………………………………………………….7分当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为22)23(k⑥七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ1………………………………..9分当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为213()2k⑦依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，∴23……………………………………………………………………………..11分∴0,123又∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1bn……………………………12分57、已知数列}{na的前n项和为nS，对一切正整数n，点),(nnSnP都在函数xxxf2)(2的图像上，且过点),(nnSnP的切线的斜率为nk．（1）求数列}{na的通项公式．（2）若nknabn2，求数列}{nb的前n项和nT．（3）设},2{},,{NnaxxRNnkxxQnn，等差数列}{nc的任一项RQcn，其中1c是RQ中的最小数，11511010c，求}{nc的通项公式.解：（1）点),(nnSnP都在函数xxxf2)(2的图像上，2*2()nSnnnN,当n2时，121.nnnaSSn当ｎ＝1时，113aS满足上式，所以数列}{na的通项公式为21.nan…….3分（2）由xxxf2)(2求导可得()22fxx‘过点),(nnSnP的切线的斜率为nk，22nkn.24(21)4nknnnban＝.12343445447421)4nnnT+4（①由①×4，得2341443445447421)4nnnT+4（②①-②得：231343424421)4nnnnT+4-（七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载21141434221)414nnn（4）-（26116499nnnT………………………………………………………………..7分（3）{22,},{42,}QxxnnNRxxnnN,QRR.又ncQR，其中1c是RQ中的最小数，16c.nc是公差是4的倍数，*1046()cmmN.又10110115c，*11046115mmN,解得ｍ＝27.所以10114c，