全国名校高考数学专题训练08圆锥曲线(解答题1)共25题

全国名校高考数学专题训练08圆锥曲线（解答题1)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521FFcba设P（x，y），则1),1(),1(2221yxyxyxPFPF3511544222xxx]5,5[x，0x当，即点P为椭圆短轴端点时，21PFPF有最小值3；当5x，即点P为椭圆长轴端点时，21PFPF有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为)5(xky由方程组2222221(54)5012520054(5)xykxkxkykx，得依题意25520(1680)055kk，得当5555k时，设交点C),(),(2211yxDyx、，CD的中点为R),(00yx，则45252,4550222102221kkxxxkkxx.4520)54525()5(22200kkkkkxky又|F2C|=|F2D|122RFkklRF12042045251)4520(0222222kkkkkkkkkRF∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；.B,AM3,P)2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.:yx4y)1x(3y)1x(3y:AB,)i)(2(2得消去由的方程为直线由题意得.3162xx|AB|),32,3(B),332,31(A.3x,31x,03x10x321212所以解得假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y,)332y()34()32y(4:)316()32y()131(,)316()32y()13(2222222222舍不符解得相减得因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，.32y,C,B,A,32y1x)1x(3y故三点共线此时得由，9256)316(|AB|,y3y34928)332y()311(|AC|222222又，,392y,9256yy334928yy3428,|AB||AC||BC|22222时即即当∠CAB为钝角.9256yy3428yy334928,|AB||BC||AC|22222即当.CBA3310y为钝角时22222yy3428y3y349289256,|BC||AC||AB|即又0)32y(,034y334y:22即.该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:)32(9323310yyy或.解法二：以AB为直径的圆的方程为:381x:L)332,35()38()332y()35x(222的距离为到直线圆心.).332,1(GLAB,相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.932y1x).31x(33332y:ABA得令垂直的直线为且与过点.3310y1x),3x(3332y:ABB得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C,,32y1x)1x(3y时的坐标为当点所以解得又由A，B，C三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：).32(9323310yyy或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：⊿ABC的垂心H也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。解：（1）略；（2）A(2+3,2－3),B(2－3,2+3)或A(2－3,2+3),B(2+3,2－3)4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1,21)为方向向量的直线l过点(0,45)，抛物线C：pxy22(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若02pOBOA(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题意可得直线l：4521xy①过原点垂直于l的直线方程为xy2②解①②得21x．∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．∴2212p，2p∴抛物线C的方程为xy42．（Ⅱ）设),(11yxA，),(22yxB，),(yxN，由02pOBOA，得042121yyxx．又1214xy，2224xy．解得821yy③直线ON：xxyy22，即xyy24④由③、④及1yy得，点N的轨迹方程为2x)0(y．5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB过y轴上一点),0(mP，斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为k4)0(k，（1）求以O为顶点，y轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；解：（1）设抛物线方程为)0(22ppyx，AB的方程为mkxy，联立消y整理，得0222pmpkxx；∴pkxx221，又依题有pkkxx24||21，∴2p，∴抛物线方程为yx42；（2）设M)4,(211xx，N)4,(222xx，)1,(0xQ，∵21xkMQ，∴MQ的方程为)(241121xxxxy042121yxxx；∵MQ过Q，∴0420121xxx，同理0420222xxx∴21,xx为方程04202xxx的两个根；∴421xx；又421xxkMN，∴MN的方程为)(4412121xxxxxy∴1421xxxy，显然直线MN过点)1,0(6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆MPNyxM为圆点定点),0,5(,36)5(:22上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足0,2NPGQNQNP.（I）求点G的轨迹C的方程；（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设,OBOAOS是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）02PNGQNQNPQ为PN的中点且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长3a，半焦距5c，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是14922yx………5分（2）因为OBOAOS，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得|OS|=|AB|，则四边形OASB为矩形0OBOA若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由3522149222yxyxx得0,0916OBOAOBOA与矛盾，故l的斜率存在.………7分设l的方程为),(),,(),2(2211yxByxAxky0)1(3636)49(149)2(222222kxkxkyxxky由49)1(36,493622212221kkxxkkxx①)]2()][2([2121xkxkyy4920]4)(2[2221212kkxxxxk②……………9分把①、②代入2302121kyyxx得∴存在直线06230623:yxyxl或使得四边形OASB的对角线相等.7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=41x2的焦点，离心率等于552.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA=λ1AF，MB=λ2BF，求证λ1+λ2为定值.解：（I）设椭圆C的方程为)0(12222babyax，则由题意知b=1..5.55211.55222222aaaba即∴椭圆C的方程为.1522yx…………………………………………………5分（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211yMyxByxA易知F点的坐标为（2，0）.分8.1,12).,2(),(,1011111110111yyxyxyyxAFMA将A点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(51210211y去分母整理得.0551020121y…………………………………………10分,05510,.05510:,20221202222的两个根是方程可得由同理yxxyBFMB.1021…………………………………………………………12分方法二：设A、B、M点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211yMyxByxA又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是).2(xky将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得.052020)51(2222kxkxk……………………………………7分.51520,512022212221kkxxkkxx……………………………………8分又.2,2,,22211121xxxxBFMBAFMA将各点坐标代入得.10)(242)(22221212121221121xxxxxxxxxxxx8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上,且满足230PMMQ，0RPPM.（Ⅰ）⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设1122(,)(,)AxyBxy、为轨迹C上两点，且111,0xy，N(1,0)，求实数，使ABAN，且163AB.解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由230PMMQ得P(0，2y)，Q(,03x).由0,RPPM得(3，2y)·(x，3