8 均匀设计法

18均匀设计法8.1均匀设计原理与均匀设计表8.2实验安排８.3实验结果分析28均匀设计法我们知道，正交表具有“均衡分散性”和“整齐可比性”，因而，利用正交表进行正交实验设计，可以通过较少的实验，获得全面实验的信息，是一种优异的实验设计方法。为了保证整齐可比的特点，简化数据处理，实验点不能在实验条件范围内充分地均衡分散，因此实验点不能过少。显然，在正交实验中，均匀性受到一定的限制，使实验点的代表性还不够强。由于这一原因，当需考察的因子数较多，特别是因子水平数较多时，由正交实验设计安排的实验次数仍然较多。如果不考虑实验数据的整齐可比性，而3充分体现其均衡性，即让实验点在实验范围内充分地均匀分散，则可从全面实验中挑选比正交实验设计更少的实验点作为代表进行实验。这种着眼于实验点充分地均匀分散的实验设计方法，称为均匀实验设计法。均匀设计法已在我国飞航式导弹的设计中取得了有效的应用，使试验、设计周期大大缩短，并节省了大量的费用。48.1均匀设计原理与均匀设计表在多维数值积分中，目前最好的是数论方法，其出发点是让点子在积分范围内散布得十分均匀，使布的点离被积函数的各种值充分地近，因而用的点不多却能使积分值得到很好的近似。我国数学家方开泰先生将这一思想应用于实验设计，开发出均匀实验设计的方法，并构造出如附表8所示的一套均匀设计表，表8.1是其中之一。5表8.1U５(54)均匀设计表及使用表6类似于正交表，均匀设计表也有一个代号,其各符号的意义是)(qntU7从附表8可看出，每一张均匀设计表后都附有一张该表的使用表（如表8.1右表所示），与之配合使用；每一张表安排的实验次数与因子水平数相等，且因子水平数皆为奇数。当水平数为偶数时，则可用水平数比多它1的奇数均匀设计表划去最后一行来安排偶数水平数的实验。例如，因子水平数为4时，可利用表安排实验，仅划去表中最后一行，即实验5。当然，划去最后一行后，相应的实验次数也少一次，表就变为均匀设计表了，而使用表不变。与正交实验相似，因子数较少时，也可用因子数较多的均匀设计表安排实验。如以2因子11水平的实验为例，可选用表来安排实验，其实验的布点情况见图8.1中黑点所示。)5(45U)5(45U)5(44U)5(45U8图8.12因子11水平实验的实验点分布9从实验点的分布可以看到，实验点是均匀地分散在整个区域内。若是多因子时，实验点同样是在实验范围构成的多维空间中均衡分布的。与正交实验设计相比，均匀实验设计具有下述特点：(1)每个因子的每一水平只做一次实验，因而实验工作量少，这是均匀实验设计的一个突出的优点。例如，要考察5因子对实验指标的影响，每个因子取5水平，用正交表安排实验至少要进行25次实验；而用均匀设计表来安排这一实验，只需进行5次实验。虽然后一方法实验点减少了很多，但其实验结果仍能反映实验体系的主要特征。10(2)正交表中各列的地位是相等的，因此，因子的安排具有随意性。均匀设计表则不一样，表中各列的地位是不平等的。因此，因子安排在均匀设计表中的哪一列是不能随便改动的，需根据实验中欲考察的因子数，按均匀设计表后的使用表来确定因子所处的列号。如在利用进行均匀实验设计时，若只有2个因子，则按的使用所指示的，将因子安排在表的第1列和第2列；若有3个因子，则将因子安排在第1,2,4列；若有4个因子，则正好每列安排一个因子。又如前面提到的表，如果只安排2因子，则可由的使用表查得应将这2个因子分别)11(1011U)11(1011U)5(45U)5(45U)5(45U11安排在第1与第7列。图8.1也正是由此而作出的。(3)由于均匀实验设计的特点，实验数据失去了整齐可比性，因此，不能象正交实验设计那样，用方差分析法来处理数据，而要用回归分析法处理实验数据。(4)用均匀设计安排实验，实验次数较少，为了提高实验精度和可靠性，可采用实验次数较多的均匀设计表来重复安排因子各水平的实验。例如考察5个因子的影响，每个因子取6个水平，可选用表安排实验。根据该均匀设计表的使用表（参见附表8），将因)13(1213U12子A,B,C,D,E分别安排在均匀设计表相应的列（1,6,8,9,10列）内，再将该表第13号实验划去，并将各因子6个水平的每一水平在均匀设计表中重复安排一次，如将因子A的水平1安排为第1与2号实验，水平2安排为第3与4号实验，水平3安排为第5与6号实验，水平4安排为第7与第8号实验，水平5安排为第9与第10号实验，水平6安排为第11与12号实验。其它几个因子也作同样安排，则得如表8.2所示的具体实验安排。13表8.2重复水平实验的具体安排表14由于均匀实验设计只要进行少数实验即可找到基本上适用的分析条件，因此它在零星样品的快速分析，确定待考察因子的实验范围，实验条件的初选方面都大有好处。8.2实验安排当研究个因子对实验指标值的影响时，在不考虑因子高次项与因子之间交互作用的条件下，只需选用实验次数等于因子数的均匀设计表来安排实验就可以的。而当要考虑因子高次项与因子之间的交互作用时，需用多项式回归来描述指标函数。若研究的因子数因子数为，在回归方程中，一次项与二次项各my152mC22mCm22mCm)5(45U32mC)9(69U有项,交互效应项有项，共有()项，因此至少要选用有()次实验的均匀设计表来安排实验。例如要研究3因子的影响，如果因子与指标函数之间的关系为线性，选用表安排实验；当各因子与指标值之间的关系为二次多项式，而又要考虑因子之间的交互作用时，则回归方程的一次项与二次项各有3项，因子之间的交互作用项有项，除常数项不计之外，在回归方程中至少有9个待定系数，因此至少应选用表来安排实验。m16在安排实验之前,应根据专业知识和实践经验来判断与选择在回归方程式中的交互作用项与高次项,对于那些对指标值y没有显著影响或影响较少的交互作用项与高次项应尽量不要安排在实验中,以减少实验工作量和对实验数据的回归分析的工作量。17８.3实验结果分析８.3.1直观分析由于均匀设计允许的因子水平数较多，水平间隔较小，研究因子的范围宽，实验点在整个实验区域内分布均匀，实验结果具有较好的代表性，因此，指标值最佳的实验点所对应的实验条件，即使不是全面实验中最优的条件，但相对来说，也是接近于全面实验中的最优条件的，因此，可以直接采用它作为相对较优的实验条件来使用。这个分析方法看起来粗糙，但在正交实验中当有混杂时常采用此法，大量实验证明这种方法是有效的。18８.3.2回归分析(1)回归方程的建立由于用均匀设计表安排实验,未考虑实验数据的整齐可比性,故实验结果不能用一般的方差分析方法来处理,而要用多元回归分析来处理数据。在一般的实验中，为简化数据处理过程，往往可不考虑因子的三次项与三因子之间的交互作用，因此，指标函数可设计为如下的形式：mimikkiikmiiixxbxbby110ˆy(8―1)19kixx2ix式中，反映了两因子之间的交互效应；反映了因子二次项的影响。若令22mCmttjmxxmjxXkiij,,tiiiXbby10ˆ(8―2)(8―3)iiikm,;,m,式（8—3）中，通过变量代换,可将式(8―1)化为如式(8―4)所示的多元线性方程：1,2,1,。(8―4)20ib0b式（8―4)中回归系数与可由如式（8―5)所示的正规方程组与式（8―6)求得:tytttttyttyttLbLbLbLLbLbLbLLbLbLbL22112222212111212111(8―5)tiiiXbyb10(8―6)21式中（8―7）njjiiXnX11njjyny11（8―8）))((1))((1111njnjjkjinjjkjinjkjkijiikXXnXXXXXXL（8―9）njnjjjinjjjinjjijiiyyXnyXyyXXL1111))((1))((（8―10）22其中，，表示线性变换后由式(8―3)ki,t,1,2,Xnj,,2,1iXiniyyi重新定义的变量的序号；表示均匀实验号；表示第个变量的次实验的平均值；表示的第次实验结果。以上是前面已介绍过的多元线性回归数学模型的第二种形式，当然，也可写出其第一种形式。有关第一种形式与第二形式的求解方法，请参阅教材中的多元线性回归分析部分。234321,,,xxxx144224C434232413121242322214321,,,,,,,,,,,,,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx需指出的是，在进行如式（8―1)所示的二次回归分析时，由于待定系数较多，最好采用逐步回归的方法。例如有四个因子，作二次回归时共有项，即则待求系数也有14个。如果14项全部进入回归方程不仅计算工作量大，而且效果也不好，这时用逐步回归就比较合适。24对需在回归方程中引入多因子交互作用项与高次项时，可在式（8-1)中再加入相应项，按照上述原理，求出非线性回归方程。当然，其回归分析过程就更复杂了。如前所述，应在安排实验前，根据经验判断，将那些对实验指标影响不大的交互作用项和高次项，尽量不要安排在实验中，以减少实验和回归分析工作量。为了确定所建立的回归方程是否有意义，需进行显著性检验。前面已指出，的总偏差平方和可分解为回归平方和与剩余平方和，且（2）回归方程的显著性检验25njjnjjyny1212)(1njjyyTyyLQ12)((8―11)1nfTnjjyyU12)ˆ(mfuUQQTe(8－13)自由度为。(8－12)自由度。261mnfe)1/(/mnQmUFeF),(euffF),(euffFF（8－14）自由度从而统计量给定显著性水平，从附表２查出检验临界值，若我们可以在显著性水平下，认为所建立的回归方程是有显著意义的。反之，则认为回归方程没有显著意义。27ibixyixy与多元线性回归分析一样，也可由计算相关系数R予以检验回归方程的显著性。回归系数表示因子在其他因子不变的情况下，变化一个单位引起值变化的大小，它的绝对值越大，表明该因子对值的影响越大,在回归方程中的重要性亦越大。但回归系数的绝对值的大小与因子所用单位有关。因此，不同单位的回归系数的绝对值不能直接进行比较，必须将各回归系数标准化，按式（8-15）求出标准回归系数，然后才能通过比较ib'ib'的绝对值来判断各因子影响的大小。（3）标准回归系数28yyijiiLLbb/'（8―15)标准回归系数标准回系数与因子所用单位无关，其绝对值越大，表示该因子对值的影响越大。(4)最优条件的确定由直观分析，可以获得接近全面实验中的相对较优的实验条件。在建立形如式（8―1）所示的回归方程后，可以寻求在试验范围内的最优条件，这等价于在这个范围内求回归方程中的极大值。'ibixyyˆ29yˆyˆyˆmimikkiikmiiixxbxbby110ˆ如果回归方程较复杂，可采用优化算法或数论方法求的极大值。方开泰和王元还提出了序贯算法SNTO，可以方便地求得的极大值。在回归方程不太复杂的情况下，用简单的微积分亦可求出的极大值，即对形如式（8―1）所示的回归方程30ixyˆyˆ（8―16)解出式（8―16），即可得出其实验的最优条件。求对偏导，且在为极大值时，应有00021mxyxyxy311x例8.1经对合成氮酮（1-正十二烷基氮杂环庚-2-酮）的初步实验发现，对氮酮收率影响最显著的是己内酰胺与溴代十二烷的比例、NaOH用量及反应时间这三个因子。现采用均匀设计法，对氮酮的合成工艺条件进行研究，并选择上述三个因子的实验范围如下：己内酰胺与溴代十二烷的摩尔比:0.8～1.4NaOH与溴代十二烷的摩尔比反应时间：3～8:1～62x)(3hx32根据实验因子和各因子的实验范围，选择均匀设计表安排实验。其实验安排及实验