对方案有偏好的不确定语言多属性决策方法

西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031）2.川北医学院数学系，四川南充（637007）E-mail：[e-mail]摘要：研究了属性权重完全未知、属性值和对方案的主观偏好值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则，以及不确定语言变量之间比较的可能度公式，给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形，给出了求解权重的公式。然后利用不确定语言加权平均(ULWA)算子，对不确定语言决策信息进行加权集成，并利用可能度公式构造可能度矩阵(互补判断矩阵)，继而利用互补判断矩阵排序公式对决策方案进行排序和择优。最后进行了实例分析。关键词：多属性决策；不确定语言变量,ULWA算子,偏差中图分类号：C934文献标识码：A1.引言人们在对诸如人的思想品德、汽车性能等问题进行评估时往往会直接给出定性的评估信息(如：优，良，差等语言形式)，因此对属性值以语言变量或不确定语言变量形式给出的多属性决策问题的研究具有重要的理论和实际应用价值。目前国内外有关该问题的研究已经有一部分成果[1-11]。由于客观事物的复杂性、不确定性以及人类思维的模糊性，当专家受一些主、客观因素制约时，属性值往往以语言变量或不确定语言变量的形式给出，并且只能获取部分属性权重的信息，甚至对属性权重信息完全未知，因此对该类多属性决策问题的研究已引起了人们的关注。文献[8]对属性取值为语言变量，属性权重信息完全未知的多属性决策问题，给出了一种求解属性权重的简洁公式，同时对属性取值为语言变量，属性权重信息不完全的多属性决策问题，基于极小极大算子给出了一种决定属性权重的优化模型，最后通过LWAA算子集结属性信息。文献[9]对属性取值为语言变量，属性权重信息不完全的多属性决策问题，给出了一种交互式的决策方法。文献[10]对属性取值为语言变量，属性权重信息完全未知的多属性群决策问题，基于离差最大化的思想，给出了一种求解属性权重的公式。文献[11]对属性取值为语言变量或不确定语言变量，属性权重信息不完全且对方案有偏好的多属性决策问题，给出了解决该问题的线性规划模型。本文针对属性权重信息完全未知，且属性值和对方案的主观偏好值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题的研究。为此，本文首先引入不确定语言变量的概念及其运算法则，然后，给出了确定属性权系数的一个简单公式，并给出了一种基于可能度的决策方案排序方法。最后，用实例来说明本文给出的方法。2.不确定语言变量及其运算法则决策者在进行定性测度时，一般需要适当的语言评估标度，可事先设定语言评估标度{},,iSsitt==−L，S中的术语个数一般为奇数，且满足下列条件[1,4,5]：(1)若ij，则ijss;(2)存在负算子()iinegss−=；(3)若ijss≥，则()max,ijisss=；(4)若ijss≤，则()min,ijisss=。例如S可以定义如下：{}S=-4-3-2-101234s=极差,s=很差,s=差，s=稍差,s=一般,s=稍好，s=好,s=很好,s=极好为了便于计算和避免丢失决策信息，在原有标度{}(),,iSsitt==−L的基础上定义一个拓展标度{}[,]aSsaqq=∈−，其中q是一个充分大的数，且若isS∈，则称is为本原术语；否则，称is为拓展术语。一般地，决策者运用本原术语评估决策方案，而拓展术语只在运算和排序过程中出现[1,4,5]。如果[,]sssαβ=%，其中,ssSαβ∈，sα和sβ分别表示下限和上限，则称s%为不确定语言变量，并令S%为所有不确定语言变量构成的集合。对于任意三个不确定语言变量，,sssαβ⎡⎤=⎣⎦%,111,sssαβ⎡⎤=⎣⎦%和222,sssαβ⎡⎤=⎣⎦%,其中，12,,sssS∈%%%%,以及[]0,1λ∈,不确定语言变量的运算法则为[1,4,5]:(1)11221212121212,,,,ssssssssssssαβαβααββααββ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⊕=⊕=⊕⊕=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦%%;(2),,,sssssssαβαβλαλβλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦%.对于具有不确定语言决策信息的多属性决策问题，在选择方案过程中，一般需要对不确定语言变量进行比较和排序。为此，下面给出一个简洁的度量公式。定义1[1,4,5,6,7]设111,sssαβ⎡⎤=⎣⎦%和222,sssαβ⎡⎤=⎣⎦%为两个不确定语言变量,同时令()111lensβα=−%和()222lensβα=−%为两个不确定语言变量的长度,那么12ss≥%%的可能度定义为：()()()()()()()12211212max0,max,0lenslenspsslenslensβα+−−≥=+%%%%%%(1)由定义1,可能度有下列优良性质：(1)()()122101,01psspss≤≥≤≤≥≤%%%%；(2)()()12211psspss≥+≥=%%%%.特别地,()()11220.5psspss≥=≥=%%%%.定义2[7]设111,sssαβ⎡⎤=⎣⎦%和222,sssαβ⎡⎤=⎣⎦%为两个不确定语言变量,那么1s%与2s%之间的距离定义为：()()1212121,2dssββαα=−+−%%(2)定义3[4]设():nULWASS→%%,若()121122ULWA,,,snnnssswswswsλ=⊕⊕⊕%%%%%%LL(3)其中，()123,,,T=L为不确定语言数据组()1,2,,isin=%L的加权向量，[]0,1jw∈，11,2,,,1njjjnw===∑L，则称函数ULWA为n维不确定语言加权平均(ULWA)算子。设()0.2,0.1,0.3,0.4Tw=,[]112,sss=%,[]214,sss=%,[]302,sss=%和[]424,sss=%,由ULWA算子得到：()[][][][][]1234121402241.13.0ULWA,,,0.2,0.1,0.3,0.4,,wssssssssssssss=×⊕×⊕×⊕×=%%%%3.对方案有偏好的不确定语言多属性决策方法对于不确定语言多属性决策问题，设决策者对于方案()12,,,imAAAAA∈L关于属性()12,,,jnGGGGG∈L进行测度，得到方案iA关于属性jG的属性值为ijrS∈%%,从而构成不确定语言决策矩阵()(),LRijijijmnmnRrrr××==%%，其中ijirS∈%%，()123,,,T=L为属性权重向量，[]0,1jw∈，11,2,,,1njjjnw===∑L。为方便起见，令{}{}1,2,,,1,2,,MmNn==LL。假设决策者对方案iA有一定的主观偏好，主观偏好值是以不确定语言变量形式给出,即(),LRiθθθ=%,iSθ∈%%，iM∈。利用ULWA算子对决策者的不确定语言决策矩阵()ijmnRr×=%%的属性值进行集结，得到决策方案iA关于属性jG的综合属性值()()1211122=ULWA,,,iwiiiniininzwrrrwrwrwr=⊕⊕⊕%%%%%%%LL，,iMjN∈∈.(4)显然，综合属性值()izw%越大，则其所对应的方案iA越优，在权重向量已经确知的情况下，很容易对方案进行排序。由于客观事物的复杂性及人类思维的模糊性，人们往往难以给出明确的属性权重。有时会出现属性权重完全未知这种极端情形。在这种情况下，需要事先确定属性的权重。由于种种条件的制约，决策者的主观偏好与客观偏好之间往往存在着一定的差距，为了使决策具有合理性，属性权重的选择的选择应使决策者的主观偏好值与客观偏好值的总偏差最小化。为此可以建立如下的单目标最优化问题。()()()22111min,mmniijijiijDwDwdrwθ=====∑∑∑%%1..1,0,.njjjstwwjn==≥∈∑(5)其中，(),ijidrθ%%表示在属性jG下决策者对方案iA的客观偏好值ijr%与主观偏好值iθ%之间的偏差。单目标函数()Dw表示所有属性下决策者的主观偏好值与客观偏好值之间的总偏差。同时，对于不确定语言决策矩阵()ijmnRr×=%%，其不确定语言正理想解为()12,,,nrrrr++++=%%%%L(6)其中，,max,maxLULUjjjijijiirrrrr+⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦%，jN∈.客观上,属性权重的选择应该使各方案的属性值与不确定语言正理想解之间具有最小的偏差，为此可以建立如下多目标优化模型：()()221min,,niijjjjNwdrrwiM+==∈∑%%.1..1,0,.njjjstwwjn==≥∈∑(7)同理，由于各个方案是公平竞争的，不存在任何偏好关系，可将上面的多目标优化问题转化为如下单目标最优化问题。()()()22111min,mmniijjjiijNwNwdrrw+=====∑∑∑%%.1..1,0,.njjjstwwjn==≥∈∑(8)依据组合方法的思想，属性权重向量w的选择应该使在各属性下所有决策方案的总的组合偏差之和最小化。因此，可以构造如下的目标函数()()()()()()22211min,,mnijiijjjijHwaDwbNwadrbdrrwθ+===+⎡⎤=+⎣⎦∑∑%%%%1..1,0,.njjjstwwjn==≥∈∑1,0,0abab+=≥≥.(9)其中，a和b体现了决策者对两种不同信息的偏好程度。解此模型，可以构造如下的拉格朗日函数：()()()()222111,,,21mnnijiijjjjijjLwadrbdrrwwλθλ+===⎛⎞⎡⎤=++−⎜⎟⎣⎦⎝⎠∑∑∑%%%%.(10)关于jw和λ求偏导数，并令其等于零，得到()()()()221,2,,20,mijiijjjijLwadrbdrrwjNwλθλ+=∂⎡⎤=++=∈⎣⎦∂∑%%%%.()1,10njjLwwλλ=∂=−=∂∑.从而,得到()()()()()()1112222111,,,,nmmjijiijjijiijjjiiwadrbdrradrbdrrθθ−−−++===⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑%%%%%%%%(11)综上所述，我们给出如下算法：设决策者对于方案()iAiM∈关于属性()jGjN∈进行测度，得到方案iA关于属性jG的属性值为ijrS∈%%,从而得到不确定语言决策矩阵()(),LRijijijmnmnRrrr××==%%，并且决策者对方案iA的主观偏好值为(),LRiθθθ=%,,ijirSθ∈%%%，,iMjN∈∈。步骤2利用式(11)求出最优属性权重向量w；步骤3由式(4)求得各方案综合属性值()izw%。步骤4利用式(1)对()()izwiM∈%进行两两比较，并构造可能度矩阵(或称之为互补判断矩阵)()ijmmPp×=，其中()()(),0,1,0.5,,ijijijijjiiippzwzwppppijM=≥≥+==∈%%步骤5利用文献[12]中给出的一个简洁公式()111,12miijjmpiMmmω=⎛⎞=+−∈⎜⎟−⎝⎠∑.(12)求得互补判断矩阵P的排序向量()12,,,Tmωωωω=L。步骤6根据iω的值对方案进行降序排列，iω的值越大，对应的方案越优。4.实例分析考虑某个风险投资公司进行项目投资问题[13],有5个备选企业15AA,4个评价属性14GG(属性分别为风险分析,成长分析,社会政治影响分析和环境影响分析).决策者利用语言评估标度{}S=-4-3-2-101234s=极差,s=很差,s=差，s=稍差,s=一般,s=稍好，s=好,s=很好,s=极好所得的评估矩阵为12341233412122