《高考数学第一轮复习课件》第53讲离散型随机变量的分布列、期望与方差

新课标高中一轮总复习理数理数第七单元计算原理、概率与统计第53讲离散型随机变量的分布列、期望与方差1.了解离散型随机变量的意义.2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值与方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值和方差.1.①某路口一天经过的机动车的车辆数为a;②一天内的温度为a;③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为a;④某投篮手在一次训练中，投中球的个数为a.上述问题中a是离散型随机变量的是()CA.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④2.设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=,k=0,1,2,3，则c=.1ck1225由P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1，得c+++=1，故c=.2c3c4c12253.已知ξ～B(n,p),Eξ=8,Dξ=1.6，则n与p的值分别是()DA.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.84.投掷一颗骰子所得点数为ξ,则Dξ=.3512因为P(ξ=i)=,i=1,2,3,4,5,6,得Eξ=3.5,故Dξ=.3512165.设随机变量ξ的分布列为：则E(5ξ+4)=.ξ124P0.40.30.315E(5ξ+4)=5·Eξ+4=5(1×0.4+2×0.3+4×0.3)+4=15.1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做①，随机变量常用字母X,Y,ξ，η等表示.(1)②叫做离散型随机变量.(2)如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做③.(3)若ξ是随机变量，η=aξ+b,其中a、b是常数，则η也是随机变量.随机变量所有取值可以一一列出的随机变量连续型随机变量2.离散型随机变量的概率分布列(1)概率分布列(分布列)：设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,….ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率P(ξ=xi)=pi，则表称为④，简称ξ的分布列.ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…随机变量ξ的概率分布列(2)二项分布：如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=pk·qn-k,其中k=0,1,2,…,n,q=1-p，我们称这样的随机变量ξ服从⑤,记作ξ～B(n,p)，其中n,p为参数，并称p为成功概率.(3)两点分布：若随机变量X的分布列是,像这样的分布列称为两点分布列.如果随机变量的分布列为⑥,就称ξ服从两点分布,且称p=P(x=1)为成功概率.二项分布X01P1-PP两点分布列(4)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有ξ件次品，则事件｛ξ=k｝发生的概率为P(ξ=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N，M≤N，n,M,N∈N*.称分布列为⑦.如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布.knkMNMnNCCCξ01…MP…00nMNMnNCCC11nMNMnNCCCmnmMNMnNCCC超几何分布列3.离散型随机变量的分布列的性质⑧.4.离散型随机变量的均值若离散型随机变量ξ的分布列为：则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为⑨..离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.Pi≥0,P1+P2+…+Pi+…=1(i=1,2,3,…)ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…随机变量ξ的均值或数学期望5.离散型随机变量的方差称Dξ=(x1-Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(xn-Eξ)2·pn+…为随机变量ξ的方差，其算术平方根Dξ为随机变量ξ的⑩,记作σξ.离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于均值的平均波动大小（即ξ取值的稳定性）.标准差6.性质(1)E(c)=c,E(aξ+b)=(a、b、c为常数);(2)设a、b为常数,则D(aξ+b)=(a、b为常数);(3)Dξ=;(4)若ξ服从二项分布，即ξ～B(n,p),则Eξ=,Dξ=;(5)若ξ服从两点分布,则Eξ=,Dξ=.11a·Eξ+b13a2·Dξ1412E(ξ2)-(Eξ)215npnp(1-p)1617pp(1-p)题型一求随机变量的分布列例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲一批零件有9个合格品，3个不合格品，安装机器时，从中任取一个，若取出不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.设随机变量ξ表示在取得合格品以前已取出的不合格品数，则ξ=0,1,2,3,可得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=×=,P(ξ=2)=××=,P(ξ=3)=1---=,故ξ的分布列为：911312944312211910922091294492201220ξ0123P91291294492201220运用分布列中的性质P1+P2+P3+P4=1,可以简化运算过程.点评点评变式变式变式袋中有3个白球，3个红球和5个黄球，从中抽取3个球，若取得一个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得一个黄球得0分，求所得分数ξ的概率分布列.由题意得ξ=-3,-2,-1,0,1,2,3,又P(ξ=-3)==,P(ξ=-2)==,P(ξ=-1)==,33311CC11652135311CCC11121123335311CCCCC1355P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==，P(ξ=3)==,则所求分布列为：21123335311CCCCC13551312213533311CCCCC2235311CCC11133311CC1165ξ-3-2-10123P116511113551313551111165对每一个ξ的取值应分析透彻,考虑完全,如ξ=-1时,可能取到一个红球,两个黄球,也可能取到两个红球和一个白球等.点评点评题型二求随机变量的期望、方差例2某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值;方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为：ξ01P0.40.6则Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6,Dξ=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.(2)重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)，故Eξ=5×0.6=3.Dξ=5×0.6×0.4=1.2.点评点评求离散型随机变量的均值和方差，首先应明确随机变量的分布列.题型三期望、方差的实际应用例3有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两个建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查他们的抗拉强度指数如下：ξ110120125130135P0.10.20.40.10.2η100115125130145P0.10.20.40.10.2其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度在不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好.首先看两建材厂的材料的抗拉强度的期望，然后再比较他们的方差.Eξ=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,Eη=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,Dξ=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,Dη=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由于Eξ=Eη,而DξDη，故甲建材厂的材料稳定性较好.点评点评离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.在进行决策时，一般先根据期望值的大小来决定，当期望值相同或相差不大时，再去利用方差决策.备选题备选题某工厂每月生产某种产品三件,经检测发现，工厂生产该产品的合格率为45.已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将亏损10万元.假设该产品任何两件之间合格与否相互之间没有影响.(1)求工厂每月盈利ξ(万元)的所有可能的取值;(2)若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标,求该工厂达到盈利目标的概率;(3)求工厂每月盈利额ξ的数学期望.(1)工厂每月生产的三件产品中，合格产品的件数的所有可能的结果是：0,1,2,3,则相应的月盈利额ξ的取值是ξ=-30,5,40,75.(2)P(ξ=-30)=()3=,P(ξ=５)=()2×=,P(ξ=40)=×()2=,P(ξ=75)=()3=,03C15112513C15451212523C4533C456412548125月盈利额ξ的分布列是：所以P(ξ≥40)=P(ξ=40)+P(ξ=75)=.所以该工厂达到盈利目标的概率为.(3)由分布列得，月盈利额的数学期望是：Eξ=(-30)×+5×+40×+75×=54.ξ-3054075P11251212564125481251121251121251125121254812564125点评点评求离散型随机变量分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.求随机变量的分布列，关键是概率类型的确定与转化，如古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.如本题就要转化成“n次独立重复试验有k次发生的概率”问题.方法提炼方法提炼1.求离散型随机变量的概率分布列的步骤:(1)求出随机变量ξ的所有可能取值；(2)求出各取值的概率；(3)列成表格.2.注意用分布列的性质P1+P2+…+Pi+…=1进行验证.3.期望和方差是离散型随机变量的两个最重要的特征数.有时判断某事物的优劣，计算其期望就能区别出来，而有时仅靠期望不能完善地说明随机变量的分布特征，还需研究其方差.4.随机变量ξ是可变的,可取不同值,而期望Eξ是不变的,它描述ξ取值的平均状态.5.方差Dξ表示随机变量ξ对期望Eξ的平均偏离程度,Dξ越大，表明平均偏离程度越大,说明ξ的取值越分散,反之,Dξ越小,ξ的取值越集中在Eξ附近.走进高考走进高考学例1(2008·陕西卷)某射击测试规则为：每人最多射击3次,击中目标即终止射击；第i次击中目标得4-i(i=1,2,3)分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,且各次射击结果互不影响.(1)求该射手恰好射击两次的概率；(2)该射手的得分记为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.(1)设该射手第i次击中目标的事件为Ai(i=1,2,3),则P(Ai)=0.8,P()=0.2,P(A2)=P()P(A2)=0.2×0.8=0.16.(2)ξ可能取的值为0,1,2,3.ξ的分布列为Eξ=0×0.008+1×0.032+2×0.16+3×0.8=2.752.iA1A1Aξ0123p0.0080.0320.160.8学例2(2008·广东卷)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润为ξ（单位：万元）.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1％,一等品率提高为70％.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？(1)ξ的可能取值为-2、1、2、6,P(ξ=-2)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=6)==.ξ的分布列为：(2)ξ的数学期望为：Eξ=(-2)×+1×+2×+6×=4.34,即１件产品的平均利润是4.34万元.15020200110502001412620063100ξ-2126P42001501101463