《高考数学第一轮复习课件》第74讲椭圆

立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·语文·湖南·人教版新课标高考一轮复习（湘—RJ）文数，Mathtype5.0,几何画板4.0,flashplayer10.0湖南学海文化传播有限责任公司，Mathtype5.0,几何画板4.0,flashplayer10.0湖南学海文化传播有限责任公司理数理数新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习（湘—RJ）新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习（湘—RJ）·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来2第十一单元直线与圆、圆锥曲线与方程·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来3第74讲椭圆·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来4理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何性质及“a、b、c、e”的几何意义与相互关系，能综合应用上述主干知识解决相关问题.·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来51.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6，则点P的轨迹是()CA.椭圆B.圆C.线段F1F2D.直线F1F2·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来62.椭圆+=1的焦点坐标是,若弦CD过左焦点F1,则△F2CD的周长是.216x29y(±,0)716由已知，半焦距c==,故焦点坐标为(±,0),△F2CD的周长为4a=4×4=16.16977·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来73.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点(,0),离心率为的椭圆方程为.312=12234xyb=3e==a2=b2+c2又椭圆焦点在y轴上,故其方程为=1.a=2b=3.,解得依题设ca122234xy·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来84.已知M为线段AB的中点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=8,则｜PM｜的最大值为,最小值为.4依题意可知，P点轨迹为以A、B为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半焦距为3，半长轴为4，则|PM|的最大值为4，最小值为半短轴.77·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来95.椭圆=1(ab0)的焦点为F1、F2，两条直线x=±(c2=a2-b2)与x轴的交点为M、N，若｜MN｜≤2|F1F2|,则该椭圆的离心率e的取值范围是.2222xyab2ac［,1)22由已知|MN|=2·.又|MN|≤2|F1F2|,则2·≤4c,从而≥,故≤1,故e∈［,1).2ac2ac22ca1222ca22·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来101.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a(①)的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a.在定义中，当②时，表示线段F1F2;当③时,不表示任何图形.2a＞|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来112.椭圆的标准方程(1)=1(a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为④.(2)=1(a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为⑤.3.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的参数方程x=⑥.y=⑦(φ为参数,a＞b＞0).2222xyab2222xybaF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)acosφbsinφ·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来124.椭圆=1(a＞b＞0)的几何性质(1)范围：|x|≤a,|y|≤b，椭圆在一个矩形区域内；(2)对称性：对称轴x=0，y=0，对称中心O(0，0)；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.2222xyab·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来13(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴长|A1A2|=⑧，短轴长|B1B2|=⑨;一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率：e=⑩(0＜e＜1)，椭圆的离心率在内,离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心率越接近于时,椭圆越圆;当离心率越接近于时，椭圆越扁平.2a2bca11(0,1)130121·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来14题型一求椭圆的标准方程例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程.12·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来15以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xOy.设所求椭圆方程为=1(ab0),如图.根据已知条件可设|GN|=t，|PG|=2t，|MG|=4t，所以|PM|===2t，|PN|=t，2222xyab22||||MGPG220t55·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来16又S△PMN=|PG|·|MN|=×2t×5t=5t2=1,所以t=，所以2a=|PM|+|PN|=3t=3，a=，2c=5t=，c=，所以b2=a2-c2=1，所以椭圆的方程为+y2=1.121255532552294x·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来17点评点评(1)求椭圆的标准方程，常用方法是特定系数法，先定位，再定量，即确定方程形式，建立方程（组），求出a、b；若位置不确定时，考虑是否有两解；有时为了解题需要，椭圆方程可设为参用形式mx2+ny2=1（m0，n0)，由题目条件求出m、n即可.（2）本例解题中注意巧用比例关系.·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来18(1)若椭圆=1的离心率e=,则实数m等于.(2)以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形是正三角形，且椭圆上的点到其中一个焦点的最短距离为，则椭圆的标准方程是.变式变式变式222xym123·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来19(1)当m2时,e==,得m=;当m2时，e==，得m=.故m的值为或.(2)由已知条件和椭圆的定义知a=2c,且a-c=,故a=2,c=3,b2=a2-c2=9.当焦点在x轴上时，所求方程为=1;当焦点在y轴上时，所求方程为=1.12m123212m128332833322129xy22912xy·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来20题型二椭圆的几何性质的应用例2如图,从椭圆=1(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM.(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；(3)若直线QF2交椭圆于另一点P，且△PQF1的周长是16，求此时椭圆的方程.2222xyab·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来21(1)因为MF1⊥x轴，所以xM=-c,代入椭圆方程得yM=,所以kOM=-,又因为kAB=-且OM∥AB，所以-=-，故b=c，从而e=.(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ,所以r1+r2=2a,|F1F2|=2c,cosθ===-1≥-1=0,当且仅当r1=r2时,cosθ=0,所以θ∈［0,］.2ba2bacba2bacba22222121242rrcrr22121212()242rrrrcrr2212()2arr212arr2·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来22(3)由已知，△PQF1的周长为4a=16，所以a2=16，b2=8.故所求椭圆的方程为=1.22168xy点评点评（1）椭圆上的点与两个焦点F1、F2所成的三角形通常称焦点三角形，解焦点三角形问题常使用三角形边角关系定理，解题中通过变形使之出现|PF1|+|PF2|，运用椭圆定义，得到a、c的关系.（2）椭圆离心率问题的关键是找到相应条件表示为a、b、c的关系式，转化为求解.ca·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来23变式变式变式(1)设椭圆=1与x轴正半轴交点为A，与y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为；(2)设F1,F2分别是椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x=上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是.2222xyab2222xyab2ac22abe∈［,1)33·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来24(1)设P点坐标为(acosα,bsinα),α∈(0,),则S四边形OAPB=|OA|·bsinα+|OB|·acosα=ab(sinα+cosα)=absin(α+),当且仅当α=时，(S四边形OAPB)max=ab.1221212224422·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来25(2)如图，设右准线与x轴交点为H,则|PF2|≥|HF2|.又|F1F2|=|PF2|,所以|F1F2|≥｜HF2｜,即2c≥-c,所以3c2≥a2,所以e2≥,所以e≥.又e1,故e∈［,1).2ac133333·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来26题型三椭圆方程的综合应用例3已知向量=(2,0),==(0,1),动点M到定直线y=1的距离为d,且满足·=k(·-d2),其中O是坐标原点，k是参变数，且k≤1.(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；(2)当k=时，求|+2|的最大值与最小值.OAOCABOMAMCMBM12OMAM·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来27(1)设M(x,y),则由=(2,0),==(0,1),得A(2,0),B(2,1),C(0,1),从而=(x,y),=(x-2,y),=(x,y-1),=(x-2,y-1),d=|y-1|.由·=k（·-d2）,得x(x-2)+y2＝k［x(x-2)+(y-1)2-(y-1)2］,即(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0为所求轨迹方程.当k=1时，动点M的轨迹是一条直线.若k≠1时，方程可化为(x-1)2+=1.OAOCABOMAMCMBMOMAMCMBM21yk·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来28当k=0时，动点M的轨迹是一个圆；当0k1或k0时，动点M的轨迹是一个椭圆.(2)当k=时，动点M轨迹方程是(x-1)2+2y2=1,可得y2=-(x-1)2.从而|+2|2=(3x-4)2+9y2=(x-)2+.又由(x-1)2+2y2=1,得0≤x≤2.故当x=时，|+2|取最小值;当x=0时，|+2|取最大值4.OMAMOMAM12121292537253OMAM·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来29点评点评轨迹方程的实质是将题设动点的变化规律对应的条件转化化归为坐标关系式，而在探究与椭圆相关的最值问题时，一定要注意椭圆上的动点坐标的取值范围.·高中新课标总复习（第1轮）·理科数学·湖南·人教版立足教育开创未来30备选题备选题从圆x2+y2=4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q,点M在线段PQ上，且=λ(0＜λ