《高考数学第一轮复习课件》第76讲 抛物线

新课标高中一轮总复习理数理数第十一单元直线与圆、圆锥曲线与方程第76讲抛物线理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和几何性质，能综合运用抛物线的基本知识，分析探究与抛物线相关的综合问题.1.平面内，动点M到定点F（0,-3）的距离比它到直线y-2=0的距离多1,则动点M的轨迹方程是.x2=-12y依题设，动点M到定点F(0,-3)的距离等于它到定直线y=3的距离，由抛物线的定义可知，其轨迹方程为x2=-12y.2.抛物线y=-x2的焦点坐标是，准线方程是.y=1(0,-1)14抛物线的标准方程是x2=-4y，所以焦点坐标为（0，-1），准线方程为y=1.3.抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且焦点到准线的距离为4,则该抛物线的标准方程为.y2=±8x依题设，设抛物线的方程为y2=ax,且|a|=2×4=8,即a=±8，故抛物线方程为y2=±8x.4.抛物线y2=4x上一点到其焦点F的距离为5,则点P的坐标是.(4,±4)由抛物线的定义，|PF|等于P点到准线x=-1的距离，则xP-(-1)=5，得xP=4.又y2=4x，得yP=±4.故点P的坐标为（4，±4).5.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.由抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F(,0),交抛物线于点P，则点P使所求的距离最小，且其最小值为=.12221(0)(20)21721721.抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的①.2.抛物线的标准方程与几何性质准线标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)对称轴②.x轴y轴③.焦点F(,0)④.⑤.F(0,-)x轴y轴2pF(-,0)2pF(0,)2p2p离心率e=1e=1e=1e=1准线⑥.x＝y＝－⑦.焦半径x0+⑧.⑨.-y0x=-2p2p2py=2p2p2p-x02py0+2p题型一求抛物线的标准方程例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上一点A（m,-3)（m0)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出抛物线的方程.因为点A(m,-3)(m0)在第四象限，所以抛物线开口方向可能向下或向右.(1)若抛物线开口向下，设抛物线方程为x2=-2py(p0)，这时准线方程为y=.由抛物线定义知，-(-3)=5，所以p=4.所以抛物线的方程为x2=-8y.又点A(m,-3)在抛物线上,且m0,所以m=2.2p2p6(2)若抛物线开口向右，可设抛物线方程为y2=2px(p0)，其准线方程为x=-.|m+|=5p=12pm=9m=p=9m=，所以y2=2x，m=或y2=18x，m=.2p2p由已知有，解得12或129212点评点评求抛物线方程的方法有①定义法：到定点的距离与到定直线的距离相等，如：动点P到定点(1,0)比到定直线x=0的距离大1，则P到定点(1,0)和到定直线x=-1的距离相等，其轨迹为抛物线y2=4x;②直接法：直接根据数量关系将动点代入求得其轨迹方程；③待定系数法：如本题，用待定系数法求抛物线方程只需求一个参数p即可，若开口方向不确定时，应分类讨论.变式变式变式根据下列条件，求出抛物线的标准方程.(1)过点(-2,3);(2)与抛物线y2=12x关于直线x-y=0对称.(1)设抛物线方程为x2=2py或y2=-2px(p0).将点(-2,3)代入抛物线方程x2=2py,得2p=,所以x2=y.4343将点(-2,3)代入抛物线方程y2=-2px,得2p=，所以y2=-x.所以满足条件的抛物线的标准方程为x2=y或y2=-x.(2)抛物线y2=12x的焦点F(3,0)关于x-y=0的对称点为F1(0,3)，所以所求抛物线方程为x2=12y.92439292题型二抛物线几何性质的应用例2过抛物线y2=2px（p0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求证：为定值.11||||AFBF设A(x1,y1),B(x2,y2)，抛物线的准线方程为x=-.由抛物线定义:|AF|=x1+，|BF|=x2+,所以==,而x1x2=，x1+x2+p=|AB|，所以===,为定值.2p2p2p11||||AFBF121122ppxx121122ppxx24p11||||AFBF22||(||)424ABpppABP||||2ABpAB2p点评点评(1)抛物线的定义、标准方程及焦点、准线和标准方程之间的联系要能灵活、准确运用.(2)抛物线y2=2px(p0)的焦点弦的端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|=x1+x2+p，且x1x2=，y1y2=-.24p2p变式变式变式(1)在直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1）.若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是；(2)直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为.(1)易得线段OA的垂直平分线的方程是y-=-2（x-1）.令y=0，得x=，故抛物线的焦点坐标为（，0），则其准线的方程是x=-.y=x-3y2=4x由抛物线定义可知，AP=10,BQ=2.又PQ=8,故S梯形APQB=(10+2)×8=48.12545454，求得A(9,6)、B(1,-2).12(2)由抛物线的定义、标准方程及焦点、准线和标准方程之间的联系属基本主干知识，需牢固掌握，准确运用.点评点评题型三抛物线的综合应用例3如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，求证：|FP|-|FP|cos2α为定值，并求此定值.(1)设抛物线的标准方程为y2=2px,则2p=8，从而p=4.因此焦点F(,0)的坐标为(2,0)，又准线方程的一般式为x=-，从而所求准线l的方程为x=-2.2p2p(2)证明：如图，作AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|AC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xA、xB，则|FA|=|AC|=xA+=|FA|cosα+4,解得|FA|=，则类似地有|FB|=4-|FB|cosα,解得|FB|=,2p41cos41cos记直线m与AB的交点为E，|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-=(|FA|-|FB|)=(-)=.所以|FP|==,故|FP|-|FP|cos2α=(1-cos2α)==8.||||2FAFB1241cos41cos1224cossin||cosFE24sin2242sinsin24sin分析探究几何性质并充分应用抛物线的定义是本例求解的关键.点评点评变式变式变式A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点).(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点P(x0,y0).(1)kOA=,kOB=.因为OA⊥OB,所以kOA·kOB=-1,所以x1x2+y1y2=0.因为y12=2px1,y22=2px2,所以+y1y2=0.因为y1≠0,y2≠0，所以y1y2=-4p2,所以x1x2=4p2.11yx22yx221222yypp(2)证明：因为y22-y12=(y2+y1)(y2-y1)=2p(x2-x1),又x1≠x2,所以=.所以直线AB的方程为y-y1=(x-x1)=(x-),所以y=x-+y1=x+=x-=(x-2p).所以直线AB过定点(2p,0).2121yyxx122pyy122pyy122pyy212yp122pyy2112yyy122pyy1212yyyy122pyy2124pyy122pyy备选题备选题如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A、B两点.一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=-c交于点P、Q.(1)若=2,求c的值；(2)若P为线段AB的中点，求证：直线QA为此抛物线的切线.ABOB(1)设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2,得x2-kx-c=0.令A(a,a2),B(b,b2),则ab=-c.因为=ab+a2b2=-c+c2=2,解得c=2或c=-1(舍去)，故c=2.(2)证明：由题意知Q(,-c),直线AQ的斜率为kAQ===2a.又y=x2的导数为y′=2x，所以点A处抛物线的切线的斜率为2a.因此，直线AQ为该抛物线的切线.ABOB2ab22acaba22aabab方法提炼方法提炼1.类比圆锥曲线统一定义.(1)抛物线定义的集合表示:P={M|=1},即P={M||MF|=d}.(2)圆锥曲线的统一定义为P={M|=e}(e0).当0e1时，曲线为椭圆；当e1时，曲线为双曲线；当e=1时，曲线为抛物线.||MFd||MFd2.定义及标准方程的理解.(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，知道抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相依并存的，知道其中一个，就可以求出其他两个.(2)焦点弦公式：对于过抛物线焦点的弦长，可用焦半径公式推出弦长公式.设过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有|AB|＝x1+x2+p.(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.(4)抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的.(5)抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为x轴或y轴的负方向.14走进高考走进高考学例1(2009·四川卷)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）AA.2B.3C.D.1153716因为直线l2：x=-1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离.故所求的最小值为点F(1，0)到直线l1：4x-3y+6=0的距离,即d==2,故选A.22|4106|34学例2(2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2，2),其焦点F在x轴上.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;(3)设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式.(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p=1.因此，抛物线C的标准方程为y2=2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是(,0).又直线OA的斜率为=1,故与直线OA垂直的直线的斜率为-1.因此，所求直线的方程是x+y-=0.122212(3)(方法一)设点D和点E的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),直线DE的方程是y=k(x-m)(k≠0).将x=+m代入y2=2x,有ky2-2y-2km=0,解得y1,2=.由ME=2DM，知1+=2(-1),化简得k2=.因此DE2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+)(y1-y2)2=(1+)=(m2+4m).所以f(m)=(m0).yk2112mk