20概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案

1第七章假设检验习题7.11．设X1,…,Xn是来自N(µ,1)的样本，考虑如下假设检验问题H0：µ=2vsH1：µ=3，若检验由拒绝域为}6.2{≥=xW确定．（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β≤0.01，n昀小应取多少？（3）证明：当n→∞时，α→0，β→0．解：（1）犯第一类错误的概率为0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=∈=nXPXPHWXPµµα，犯第二类错误的概率为0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−−===∉=nXPXPHWXPµµβ；（2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−−===nnnnXPXPµµβ，则99.0)4.0(≥Φn，33.24.0≥n，n≥33.93，故n至少为34；（3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=nnnnnXPXPµµα，)(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−−===nnnnnXPXPµµβ．2．设X1,…,X10是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下检验问题H0：p=0.2vsH1：p=0.4，取拒绝域为}5.0{≥=xW，求该检验犯两类错误的概率．解：因X~b(1,p)，有),10(~10101pbXXii=∑=，则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10510100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−kkkkCpXPpXPHWXPα，6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{4010101=⋅⋅=====∉=∑=−kkkkCpXPpXPHWXPβ．3．设X1,…,X16是来自正态总体N(µ,4)的样本，考虑检验问题H0：µ=6vsH1：µ≠6，拒绝域取为}|6{|cxW≥−=，试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ=6.5处犯第二类错误的概率．2解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=cccXPcXPHWXPµµα，则Φ(2c)=0.975，2c=1.96，故c=0.98；故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=−−==−=∉=µµβXPXPHWXP83.0)96.2()96.0(96.01625.696.2=−Φ−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=XP．4．设总体为均匀分布U(0,θ)，X1,…,Xn是样本，考虑检验问题H0：θ≥3vsH1：θ3，拒绝域取为}5.2{)(≤=nxW，求检验犯第一类错误的昀大值α，若要使得该昀大值α不超过0.05，n至少应取多大？解：因均匀分布昀大顺序统计量X(n)的密度函数为θθ−Ι=xnnnnxxp01)(，则nnnnnnnnxdxnxXPHWXP⎟⎠⎞⎜⎝⎛=====≤=∈=∫−6535.233}3|5.2{}|{5.205.201)(0θα，要使得α≤0.05，即05.065≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛n，43.16)6/5ln(05.0ln=≥n，故n至少为17．5．在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；当原假设不真时，则犯了第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．6．设X1,…,X20是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下检验问题H0：p=0.2vsH1：p≠0.2，取拒绝域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥=∑∑==17201201iiiixxW或，（1）求p=0,0.1,0.2,…,0.9,1的势并由此画出势函数的图；（2）求在p=0.05时犯第二类错误的概率．解：（1）因X~b(1,p)，有),20(~201pbXii∑=，势函数∑∑=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=6220201)1(201)(kkkiippkpWXPpg，故110201)0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，3941.09.01.0201)1.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，1559.08.02.0201)2.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，3996.07.03.0201)3.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，37505.06.04.0201)4.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，9424.05.05.0201)5.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，9935.04.06.0201)6.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，9997.03.07.0201)7.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，999998.02.08.0201)8.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，11.09.0201)9.0(6220≈××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，101201)1(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg；（2）在p=0.05时犯第二类错误的概率2641.095.005.02005.0|6220201=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∉=∑∑=−=kkkiikpWXPβ．7．设一个单一观测的样本取自密度函数为p(x)的总体，对p(x)考虑统计假设：H0：p0(x)=I0x1vsH1：p1(x)=2xI0x1．若其拒绝域的形式为W={x:x≥c}，试确定一个c，使得犯第一类，第二类错误的概率满足α+2β为昀小，并求其昀小值．解：当0c1时，α=P{X∈W|H0}=P{X≥c|X~p0(x)}=1−c，且20112)}(~|{}H|{cxdxxpXcXPWXPc===∉=∫β，则2224128721161287212⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−=+cccccβα，故当41=c时，α+2β为昀小，其昀小值为87．8．设X1,X2,…,X30为取自柏松分布P(λ)的随机样本．（1）试给出单侧假设检验问题H0：λ≤0.1vsH1：λ0.1的显著水平α=0.05的检验；（2）求此检验的势函数β(λ)在λ=0.05,0.2,0.3,…,0.9时的值，并据此画出β(λ)的图像．解：（1）因)30(~3021λPXXXXn+++=L，假设H0：λ≤0.1vsH1：λ0.1，统计量)30(~λPXn，当H0成立时，设)3(~PXn，其p分位数)3(pP满足∑∑=−−=−≤)3(031)3(03e!3e!3ppPkkPkkkpk显著水平α=0.05，可得P1−α(3)=P0.95(3)=6，右侧拒绝域}7{≥=xnW；（2）因∑=−−=≥=∈=6030e!)30(1}|7{}|{)(kkkXnPWXnPλλλλλβ，010.10.20.30.40.50.60.70.80.91pg(p)4故0001.0e!5.11)05.0(605.1=−=∑=−kkkβ，3937.0e!61)2.0(606=−=∑=−kkkβ，7932.0e!91)3.0(609=−=∑=−kkkβ，9542.0e!121)4.0(6012=−=∑=−kkkβ，9924.0e!151)5.0(6015=−=∑=−kkkβ，9990.0e!181)6.0(6018=−=∑=−kkkβ，9999.0e!211)7.0(6021=−=∑=−kkkβ，1e!241)8.0(6024≈−=∑=−kkkβ，1e!271)9.0(6027≈−=∑=−kkkβ．习题7.2说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的p值时要求计算出p值．1．有一批枪弹，出厂时，其初速率v~N(950,1000)（单位：m/s）．经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值（单位：m/s）如下：914920910934953945912924940．据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速率有显著降低（α=0.05）？解：设枪弹经储存后其初速率X~N(µ,1000)，假设H0：µ=950vsH1：µ950，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α=u0.95=1.645，左侧拒绝域W={u≤−1.645}，因928=x，µ=950，σ=10，n=9，则Wu∈−=−=6.6910950928，并且检验的p值p=P{U≤−6.6}=2.0558×10−11α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即可以认为这批枪弹的初速率有显著降低．2．已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082)．现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α=0.05）？解：设现在生产的铁水含碳量X~N(µ,0.1082)，假设H0：µ=4.55vsH1：µ≠4.55，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α/2=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，因484.4=x，µ=4.55，σ=0.108，n=9，则Wu∉−=−=8333.19108.055.4484.4，并且检验的p值p=2P{U≤−1.8333}=0.0668α=0.05，00.10.20.30.40.50.60.70.80.91λβ(λ)5故接受H0，拒绝H1，即可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55．3．由经验知某零件质量X~N(15,0.052)（单位：g），技术革新后，抽出6个零件，测得质量为14.715.114.815.015.214.6．已知方差不变，问平均质量是否仍为15g（取α=0.05）？解：设技术革新后零件质量X~N(µ,0.052)，假设H0：µ=15vsH1：µ≠15，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α/2=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，因9.14=x，µ=15，σ=0.05，n=6，则Wu∈−=−=8990.4605.0159.14，并且检验的p值p=2P{U≤−4.8990}=9.6326×10−7α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即不能认为平均质量仍为15g．4．化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg，标准差为1.2kg．某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5．设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取α=0.05）？解：设这天包装机包装的化肥每包的质量X~N(µ,1.22)，假设H0：µ=100vsH1：µ≠100，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α/2=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，因9778.99=x，µ=100，σ=1.2，n=9，则Wu∉−=−=0556.092.11009778.99，并且检验的p值p=2P{U≤−0.0556}=0.9557α=0.05，故接受H0，拒绝H1，即可以认为这一天包装机的工作正常．5．设需要对某正态总体的均值进行假设检验H0：µ=15，H1：µ15．已知σ2=2.5，取α=0.05，若要求当H1中的µ≤13时犯第二类错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量．解：设该总体X~N(µ,2.5)，假设H0：µ=15vsH1：