搜索
(理解平面向量数量积的含义及其物理意义/了解平面向量的数量积与向量投影的关系/掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算/能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系/会用向量方法解决某些简单的平面几何问题/会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题)4.3平面向量的数量积及平面向量应用1．两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角,记作θ，a，b．注意：当θ＝0时a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；2．平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝|a||b|·cosθ.3.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l如图所示，作OA=a,过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1,A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量OA=a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al=|a|cosθ.4．性质：两个非零向量a，b(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.特别的a·a＝|a|2或|a|＝.(3)|a·b|≤|a||b|.5．运算律：a·b＝b·a；(λa)·b＝λ(a·b)；(a＋b)·c＝a·c＋b·c.1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：答案：D2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－3)，则向量a与b的夹角等于()A．45°B．60°C．120°D．135°解析：答案：D3．两个非零向量a、b互相垂直，给出下列各式：①a·b＝0；②a＋b＝a－b；③|a＋b|＝|a－b|；④|a|2＋|b|2＝(a＋b)2；⑤(a＋b)·(a－b)＝0.其中正确的式子有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①a·b＝0，正确，②a＋b与a－b方向不同，错误．③|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2，∴|a＋b|＝|a－b|.正确．④(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2.正确．⑤当|a|≠|b|时(a＋b)·(a－b)＝0不成立错误，故选B项．答案：B4．(2009·江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.解析：a·b＝|a||b|cosθ＝2cos30°＝3.答案：3向量的运算是指向量的加法、减法、实数与向量的积和向量的数量积等，向量的运算类似于实数的运算，要注意二者之间的联系和区别，有些问题从运算律到运算结果都非常类似，例如a2－b2＝(a－b)·(a＋b)等，同时要注意：①数形结合思想方法的运用；②向量加法、减法和数乘向量的结果是向量，而向量数量积的运算结果是实数．【例1】(1)证明：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(2)设a、b是夹角为60°的单位向量，求①|2a＋b|、|3a－2b|；②〈2a＋b,3a－2b〉．解答：(1)证明：(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝(a－b)·a－(a－b)·b＝a2－b·a－(a·b－b2)＝a2－2a·b＋b2.(2)①∵|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4|a||b|·cos60°＋1＝7，∴|2a＋b|＝.同理可求|3a－2b|＝.②cos〈2a＋b,3a－2b〉又0°≤〈2a＋b,3a－2b〉≤180°，∴〈2a＋b,3a－2b〉＝60°.2．由于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ满足0°≤θ≤180°，所以用1.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：【例2】已知a、b满足|a＋b|＝|a－b|，|a|＝|b|＝1，求|3a－2b|.解答：由|a＋b|＝|a－b|得，|a＋b|2＝3|a－b|2，即(a＋b)2＝3(a－b)2，∴a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，∴8a·b＝2a2＋2b2＝2|a|2＋2|b|2＝4，即a·b＝，∴|3a－2b|＝变式2.已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．解答：由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c＝1＋2cos120°＋3cos120°＝－，|a＋b＋c|＝＝设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，则cosθ即θ＝150°，故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．【例3】已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π,2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．变式3.已知向量OA＝a＝(cosα，sinα)，OB＝b＝(2cosβ，2sinβ)，OC＝c＝(0，d)(d0)，其中O为坐标原点，且0αβπ.(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；(2)若＝，求△OAB的面积S.解答：(1)由a⊥(b－a)⇒a·(b－a)＝0⇒a·b－a2＝0，又|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝|α－β|，∴2cos|α－β|＝1⇒cos|α－β|＝.(2)∵|OA|＝1，|OB|＝2，记〈OB，OC〉＝θ1，〈OA，OC〉＝θ2，∵OC＝(0，d)，d0，1．有了向量的几何表示和代数表示，就为研究和解决几何问题提供两种新的方法—向量法和坐标法．2．向量的线性运算、平面向量的数量积，向量的平行与垂直，都有它的几何表示和坐标表示，它们的形式虽然不同，但实质完全一样，在解决具体问题时要灵活选择．3．向量的坐标表示使向量运算完全数量化，致使一些证明题的过程表现在计算上，这是坐标法的独到之处．【方法规律】4．用坐标表示向量解决几何问题的大致过程为：(1)适当建立直角坐标系，写出相关点坐标；(2)用点的坐标表示所需向量坐标；(3)利用向量的坐标表示进行计算或证明.(2009·全国Ⅰ)(本题满分5分)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()解析：解法一：由a·b＝0如图建立直角坐标系xOy，则a＝(1,0)，b＝(0,1)设c＝(cosθ，sinθ)(a－c)·(b－c)＝(1－cosθ，－sinθ)·(－cosθ，1－sinθ)＝cos2θ－cosθ＋sin2θ－sinθ＝1－sinθ－cosθ＝解法二：(a－c)·(b－c)＝c2－c·(a＋b)≥1－|c||a＋b|＝答案：D【答题模板】1.本题灵活全面地考查向量的运算如解法二．2．可通过建立坐标系，利用向量的坐标运算将问题转化为求三角函数的最小值.【分析点评】点击此处进入作业手册