模糊数学建模方法

模糊数学建模方法重庆邮电大学数理学院沈世云[e-mail]13996204681第1章模糊集的基本概念第一节模糊数学概述1.模糊数学的产生至今，数学的发展已经历三代：（1）第一代数学：经典数学，研究和处理精确的必然现象；（2）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性(随机性)；（3）第三代数学：模糊数学，研究和处理事物的模糊性。它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延伸和发展。FuzzyMaths，专门用来处理和研究模糊性事物的一种新的数学方法。1965年美国加州大学查德(L.A.Zadeh)教授发表《FuzzySets》一文，标志其诞生。2.模糊数学的概念处理现实对象的数学模型确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系.随机性数学模型:对象具有或然性或随机性模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性.随机性与模糊性的区别随机性:指事件出现某种结果的机会.模糊性:指存在于现实中的不分明现象.模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1）.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2）.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3）.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。3.模糊数学的任务（1）给数学“禁区”的各门学科，如社会、人文学科等提供新的语言和工具；（2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断，提高自动化水平，使电脑更“聪明”。4.事物的模糊性？指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼性”。(1)清晰的事物——每个概念的内涵（内在涵义或本质属性）和外延（符合本概念的全体）都必须是清楚的、不变的，每个概念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。(2)模糊性事物——由于人未认识，或有所认识但信息不够丰富，使其模糊性不可忽略。它是一种没有绝对明确的外延的事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等的认识就是模糊的。“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一个基本矛盾”，由此促使着模糊数学的产生和发展。“模糊”并非坏事，在有些情况下它比精确更有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，实际上包含了难得模糊的哲理。模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.数学建模与模糊数学相关的问题模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题（一）模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确模糊相似选择—按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性数学建模与模糊数学相关的问题模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊层次分析法—两两比较指标的确定模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果参考书目1.模糊数学基础，张文修，西交大出版社2.模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社第二节模糊子集及其运算经典集合经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.集合的表示法：(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；(2)描述法，A={x|P(x)}.AB若xA，则xB；AB若xB，则xA；A=BAB且AB.集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).并集A∪B={x|xA或xB}；交集A∩B={x|xA且xB}；余集Ac={x|xA}.集合的运算规律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪=A，A∩=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；排中律：A∪Ac=U，A∩Ac=；U为全集，为空集.集合的直积：XY={(x,y)|xX,yY}.模糊子集及其运算模糊子集与隶属函数设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.例设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为140190140)(xxA也可用Zadeh表示法：65432118.06.04.02.00xxxxxxA还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集.从上例可看出：(1)一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的；(2)一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的.隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法.如：考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…查德给出了“年老”集函数刻画:10U50100再如，B=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：10025))525(1(2501)(12uuuuB102550UB（u）模糊集的运算相等：A=BA(x)=B(x)；包含：ABA(x)≤B(x)；并：A∪B的隶属函数为(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隶属函数为(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).模糊集的并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪=A，A∩=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；对偶律的证明：对于任意的xU(论域)，(A∪B)c(x)=1-(A∪B)(x)=1-(A(x)∨B(x))=(1-A(x))∧(1-B(x))=Ac(x)∧Bc(x)=Ac∩Bc(x)模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即A∪AcU，A∩Ac.模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.例设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见AcB,BcA.又A∪Ac=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,A∩Ac=(0.2,0.45,0,0.3,0).一、模糊截集与强截集1.定义记对设],1,0[),(~XFA})(,{)(~~xAXxxAA).(~或阈值称为置信水平截集，的为称AA})(,{)(~~xAXxxAA.)(~~强截集的为称AA第三节模糊集的基本定理.,)(,,)(,~~~~AxAxxAAxAxxAXx不属于模糊集水平上，，即在则时；当属于模糊集水平上，即在则时当对模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.2.性质.强截集具有如下性质截集与模糊集的性质1则，设],1,0[),(~~XFBA,)(2,)(1~~~~BABABABA）（）（.)(4,)(3~~~~BABABABA）（）（,2,11~1~1~1~niiniiniiniiAAAA）（）（.4,31~1~1~1~niiniiniiniiAAAA）（）（性质1'，则，设niXFBAii,,2,1),(~~性质2则为指标集设,),(,~TtUFATtTttTttTttTttAAAA~~~~21）（）（TttTttTttTttAAAA~~~~43）（）（性质3AA性质4则若,21121212321AAAAAA），（），（）（1122AAAA则，记，设,,]1,0[tTttTttTtTtTtttAAAA）（）（4,3性质5TtTtttAAAA）（）（2,1例1ccccAAAA)()(,)()(1~~1~~.7.05.0},,{~baAbaX设.)()(6.06.0~ccAA与求,3.05.0~baAc解6.0~)(cA6.0A而},{b}{)(6.0aAc性质610,AXA定义2，设)(~XFA性质7.,}1)(,{~~1AKerAxAXxxA记的核为称.,}0)(,{~~0ASuppAxAXxxA记的支集为称.~10的边界为称AAA当时,称为正规模糊集.}1)(,{~~xAXxxAKer~A1O)(~xAA~AKer~ASupp下面将要介绍的分解定理