第6章 离散系统状态空间分析

第6章离散系统状态空间分析第6章离散系统状态空间分析第6章离散系统状态空间分析6.1线性离散系统状态方程离散时间系统可以用差分方程或脉冲传递函数来描述，它们都是基于系统输入输出特性的描述。如何根据系统的差分方程和Z传递函数描述得到它的基于输入——状态——输出的状态空间描述，是本节所要讨论的内容。第6章离散系统状态空间分析6.1.1由高阶差分方程求状态方程设n阶线性定常差分方程的一般形式为式中ai，bj（i=1,2,…,n，j=0,1,…,m）由系统结构参数决定的常系数，一般有n≥m。1．差分方程不含输入函数的高阶差分当m=0时，差分方程的形式为:101()(1)()()(1)()nmyknayknaykbukmbukmbuk1()(1)()()nyknayknaykbuk第6章离散系统状态空间分析若选取状态变量为则可得到离散状态方程和输出方程分别为或121321()()()(1)(1)()(2)(1)()(1)(1)nnxkykxkykxkxkykxkxkyknxk12231111(1)()(1)()(1)()(1)()()()()()nnnnnxkxkxkxkxkxkxkaxkaxkbukykxk(1)()()()()xkAxkBukykCxk第6章离散系统状态空间分析式中x(k)是n维状态向量，A、B、C分别为n×n、n×1、1×n矩阵称为系数矩阵。表示为例6.1设线性定常差分方程为试写出状态方程和输出方程。解：由已知条件知a1=5，a2=3，a3=6，b=2，得到状态方程和输出方程分别为1211010()000()(),001()nnnxkxkxkAxkaaa0,1000BCb(3)5(2)3(1)6()2()ykykykykuk第6章离散系统状态空间分析112233123(1)010()0(1)001()0()(1)635()2()()100()()xkxkxkxkukxkxkxkykxkxk第6章离散系统状态空间分析2．差分方程包含输入函数的高阶差分当m=n（也适用于mn）时，差分方程的形式为若选取状态变量为其中1021132211()()()()(1)(1)()()(2)(1)()()(1)(1)()nnnxkykbukxkykxkhukxkykxkhukxkyknxkhuk101()(1)()()(1)()nnyknayknaykbuknbuknbuk1110222011333021120112211()()()nnnnnnhbabhbabahhbabahahhbabahahah第6章离散系统状态空间分析其状态方程和输出方程可表示为式中系数矩阵A、B、C、D分别为(1)()()()()()xkAxkBukykCxkDuk121110010000,001100,nnnnhhABhaaahCDb第6章离散系统状态空间分析以上针对线性定常差分方程介绍了状态方程的列写方法，由于状态变量的选择不是惟一的，因此状态方程也不是惟一的，上面只介绍了线性定常差分方程，而对于线性时变差分方程也可以用上述类似的方法写出状态方程，且可以得到形式上与时不变状态方程相同的时变状态方程，只是由于时变差分方程的系数ai，bj（i=1,2,…,n；j=0,1,…,m）都是k的函数，即ai(k)，bj(k)，因此，系数矩阵A，B，C，D也都是k的函数，即A(k)，B(k)，C(k)，D(k)。于是，对于线性时变差分方程所对应的状态方程和输出方程的一般形式为：(1)()()()()()()()()()xkAkxkBkukykCkxkDkuk第6章离散系统状态空间分析6.1.2由Z传递函数求状态方程设离散系统的Z传递函数的一般形式为式中n≥m，ai，bj为常系数。1．并行程序法也称为部分分式法，当Z传递函数G(z)的极点已知时，将G(z)表示成部分分式和的形式，用这种方法比较简便。下面分单极点和重极点两种情况，分别举例说明这种方法求状态方程和输出方程。1011111()()()mmmmnnnnbzbzbzbYzGzUzzazaza第6章离散系统状态空间分析例6.3设Z传递函数为试用并行法求状态方程和输出方程。解：将G(z)表示成极点形式于是，得到则对应的方块图如图6.1所示。22()21()()56YzzzGzUzzz22()2114()1()5623YzzzGzUzzzzz14()()()()23YzUzUzUzzz第6章离散系统状态空间分析选取的状态变量为则对应的差分方程为图6.1例6.3方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)1-412z121()()21()()3xzUzzxzUzz1122(1)2()()(1)3()()xkxkukxkxkuk第6章离散系统状态空间分析对应的状态方程为系数矩阵A的对角线上的两个元素即为G(z)的两个极点。由于则有于是得到输出方程为1122(1)()201()(1)()031xkxkukxkxk1214()()()()()4()()23YzUzUzUzxzxzUzzz12()()4()()ykxkxkuk12()()14()()xkykukxk第6章离散系统状态空间分析例6.4设Z传递函数为试用并行法求状态方程和输出方程。解：将G(z)表示成极点形式是，得到则对应的方块图如图6.2所示。2()1()()(1)(2)YzGzUzzz2()111()()2(1)1YzGzUzzzz2111()()()()2(1)1YzUzUzUzzzz第6章离散系统状态空间分析选取的状态变量为x3(z)图6.2例6.4方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-112z11z12331()()21()()11()()1xzUzzxzxzzxzUzz11z第6章离散系统状态空间分析因而有关系式对应的状态方程为由于则有或1122333()2()()()()()()()()zxzxzUzzxzxzxzzxzxzUz112233(1)200()1(1)011()0()(1)001()1xkxkxkxkukxkxk2123111()()()()2(1)1()()()YzUzUzUzzzzxzxzxz123()()()()ykxkxkxk123()()111()()xkykxkxk第6章离散系统状态空间分析2．串行程序法串行程序法也叫迭代程序法，当G(z)的零极点都已知时，用这种方法比较方便。因此，在串行程序法中，应将Z传递函数G(z)表示成零极点形式。例6.5设Z传递函数为试用串行法求状态方程和输出方程。解：将G(z)表示成零极点形式于是，得到则对应的方块图如图6.3所示。22()21()()56YzzzGzUzzz()35/3()1()23YzzGzUzzz35/3()()()23zYzUzUzzz第6章离散系统状态空间分析选取的状态变量为：对应的状态方程和输出方程为：图6.3例6.5方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)32z5/33zz1213()()25/3()()3xzUzzzxzxzz112220(1)()3()1(1)()333xkxkukxkxk12()()01()()xkykukxk第6章离散系统状态空间分析3．直接程序法当G(z)以有理分式表示，且零极点不便于求出时，用直接程序法比较方便。例6.6设Z传递函数为试用直接程序法求状态方程和输出方程。解：将G(z)表示成如下形式则由上式可得到2()4()()32YzzGzUzzz1212()4()()132YzzzGzUzzz1212()()()4132YzUzQzzzzz1212()3()2()()()()4()QzzQzzQzUzYzzQzzQz第6章离散系统状态空间分析则对应的方块图如图6.4所示。选取的状态变量为则对应的差分方程和输出方程为Q(z)图6.4例6.6方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-3-241z1z11212()()()()xzzxzxzzQz12212(1)()(1)2()3()()xkxkxkxkxkuk12()()41()xkykxk第6章离散系统状态空间分析4．嵌套程序法当G(z)以有理分式表示，且零极点不便于求出时，除了可用直接程序法外，还可以用嵌套程序法求状态方程。例6.7设Z传递函数为试用嵌套程序法求状态方程和输出方程。解：将G(z)表示成如下形式则则对应的方块图如图6.5所示。2()4()()32YzzGzUzzz1212()4()()132YzzzGzUzzz11(){()3()[4()2()]}YzzUzYzzUzYz第6章离散系统状态空间分析于是得到对应的差分方程和输出方程为图6.5例6.7方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)4-2-31z1z112212(1)()024()(1)()131()()01()xkxkukxkxkxkykxk第6章离散系统状态空间分析6.2连续状态方程的离散化对于一个完整的计算机控制系统，除了有离散部分外还有连续部分，即它是由离散和连续两部分所组成的混合系统。如图6.6所示是一个典型的计算机控制系统，它的离散部分是数字控制器，其状态方程可用上一节介绍的方法列写，它的连续部分是由零阶保持器与控制对象串联而成，其离散状态方程可由其离散化的差分方程或Z传递函数用上一节介绍的方法列写，也可由其连续状态方程离散化得到。本节介绍连续状态方程的离散化方法。第6章离散系统状态空间分析控制对象的输入信号是零阶保持器的输出信号u(t)，为梯形的分段常值的连续函数如图6.7所示，TT数字控制器y(t)u(t)u*(t)u(kT)e(kT)r(t)保持器被控对象e*(t)e(t)图6.6典型计算机控制系统结构图6.7零阶保持器的输出特性t0u(t)3T4T5T2TT第6章离散系统状态空间分析即有，其中u(kT)为在某一采样时刻kT时的数字控制器的输出信号u*(t)在kT时刻的值。上式表示零阶保持器将数值控制器输出的数字信号在一个采样周期内保持恒定不变，直至下一个采样时刻才变为新的数值。于是，连续状态方程的离散化问题就变成在阶梯信号作用下控制对象的连续状态方程的离散化问题了。设控制对象的连续状态方程和输出方程为式中x(t)为n1状态向量，u(t)为m1控制向量，y(t)为p1输出向量