存贮模型-焦梦

13.1存贮模型P5923.1存贮模型工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之需；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电.显然，这些情况下都有一个贮存量多大才合适的问题.贮存量过大，贮存费用太高；贮存量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足要求.上游：供货下游：需求中间:存贮3存贮模型本节在需求量稳定的前提下讨论两个简单的存贮模型：不允许缺货模型和允许缺货模型.前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况（如炼铁厂对原料的需求），后者适用于像商店购货之类的情形，缺货造成的损失可以允许和估计.4不允许缺货模型先考察这样的问题：配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费.今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小.5不允许缺货模型生产部件仓库存贮装配线配件厂有多种产品的生产能力.从一件产品转换为另一件产品时要付生产准备费：技术图纸、工装夹具、材料准备、技术培训等.仓库贮存费每日每件1元装配线日需求量100件6不允许缺货模型一个生产周期的总费用=生产准备费+贮存费平均每天的费用=生产周期一个生产周期的总费用7问题分析若每天生产一次，每次100件，无贮存费，生产准备费5000元，每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；若50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元.8问题分析虽然从以上结果看，10天生产一次比每天和50天生产一次的费用少，但是，要得到准确的结论，应该建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、贮存费之间的关系，即数学建模.从上面的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小.所以必然存在一个最佳的周期，使总费用最小.显然，应该建立一个优化模型.9问题分析一般地，考察这样的不允许缺货的存贮模型：1.产品需求稳定不变，不允许缺货；2.生产准备费和产品贮存费为常数；3.生产能力无限.在这组条件下，确定生产周期和产量，使总费用最小.10模型假设为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量.根据问题性质作如下假设：1.产品每天的需求量为常数r.2.每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2.3.生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，既不允许缺货.11模型建立将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0时生产Q件，贮存量q(0)=Q，q(t)以需求速率r递减，直到q(T)=0，如图1.显然有Q=rT(1)tqAQTOr图1不允许缺货模型的贮存量q(t)12模型建立一个周期内的贮存费是，其中积分恰等于图1中三角形A的面积QT/2.因为一个周期的准备费是c1，再注意到（1）式Q=rT，得到一个周期的总费用为20()Tcqtdt21212/2/2CccQTccrT(2)12()///2CTCTcTcrT(3)于是每天的平均费用是（3）式为这个优化模型的目标函数.13模型求解212'()//2CTcTcr21122'()0//22CTccTcrTcr令得，122crQrTc求T使（3）式的C最小.容易得到代入（1）式可得最小的总费用为12()2CTccr（4），（5）式是经济学中著名的经济订货批量公式(EOQ公式).（4）（5）（6）14模型求解用均值不等式来求解rccrccrTcTcTC2121212222)(注意“=”成立的条件，当且仅当221rTcTc即rccT212时，“=”成立.15结果解释由（4），（5）式可以看到，当准备费c1增加时，生产周期和产量都变大；当贮存费c2增加时，生产周期和产量都变小；当需求量r增加时，生产周期变小而产量变大.这些定性结果都是符合常识的.当然，（4），（5）式的定量关系（如平方根、系数2等）凭常识是无法猜出的，只能由数学建模得到.rccT212212crcQ16结果解释用得到的模型计算本节开始的问题：以c1=5000，c2=1，r=100代入（4），（6）式可得T=10天，C=1000元.这里得到的费用C与前面计算的950元有微小的差别，你能解释么？rccT212这是因为，在连续模型中，每天不是一下供给100件，而是连续供给，全天才达到100件，因此产品的贮存时间要长一些，费用有微小增加.rccC21217结果解释OtqA18敏感性分析讨论参数c1，c2，r有微小变化时对生产周期T的影响.用相对该变量衡量结果对参数的敏感程度，T对c1的敏感度记作S（T，c1），定义为1111111/,)/(ccTdTScTccTdcTcTT'121211'22Tccrccr1111111222211111(,)2222ccccdTSTcdcTccrTTcrTcr（7）由于所以19敏感性分析由（4）式容易得到S（T，c1）=1/2.作类似的定义并可得到S（T，c2）=-1/2，S（T，r）=-1/2.即c1增加1%，T增加0.5%，而c2或r增加1%，T减少0.5%.c1，c2，r的微小变化对生产周期T的影响是很小的.20思考1.建模中未考虑生产费用（这应是最大的一笔费用），在什么条件下才可以不考虑它？每件产品的生产费用恒定不变，无论生产时间的早晚，都花那么多费用.2.建模时作了“生产能力为无限大”的简化假设，如果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建模？那么T就要有范围，若最大生产能力为每次M件，则Q=rT≤M，T≤M/r.21评注EOQ公式是近百年前得到的，至今仍是研究批量生产计划问题的理论基础之一，实际上也还有一些用处.考察用户向供方订货的情况：如果订货时要付一笔订货费（与订货量无关），贮存费和用户需求量的假设与上面模型一样，并且当贮存量降到零时所订货物立即到达，那么只需将订货费类比于生产准备费，就会得到完全相同的模型.实际上，EOQ公式原本就是针对这种订货情况的.22允许缺货模型在某些情况下用户允许短时间的缺货，虽然这会造成一定的损失，但是如果损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费的话，允许缺货就应该是可以采取的策略。23模型假设下面讨论一种较简单的允许缺货模型：不允许缺货模型的假设1，2不变假设3改为：生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费为c3，但缺货数量需在下次生产（或订货）时补足.24模型建立因贮存量不足造成缺货时，可认为贮存量函数q（t）为负值，如图2.周期仍记作T，Q是每周期初的贮存量，当t=T1时q（t）=0，于是有Q=rT1（8）在T1到T这段缺货时段内需求率r不变，q（t）按原斜率继续下降.由于规定缺货量需补足，所以在t=T时数量为R的产品立即到达，使下周期初的贮存量恢复到Q.25T1r图2允许缺货模型的贮存量q（t）RtATQ模型建立OtqB26模型建立与建立不允许缺货模型时类似，一个周期内的贮存费是c2乘以图2中三角形A的面积，缺货损失费则是c3乘以图2中三角形B的面积.计算这两块面积，并加上准备费c1，得到一个周期的总费用为2/)(2/213121TTrcQTccC利用（8）Q=rT1式将模型的目标函数——每天的平均费用——记作T和Q的二元函数rTQrTcrTQcTcQTC2)(2),(23221（9）（10）27模型求解0/,0/QCTC利用微分法求T和Q使C（T，Q）最小，令可得（为了与不允许缺货模型相区别，最优解记作T’，Q’）233112322322,''cccccrrcQccTcc（11）28模型求解332212ccccrcR每个周期的供货量R=rT’，有（12）记332ccc（13）T’=λT，Q’=Q/λ，R=λQ与不允许缺货模型的结果（4），（5）式比较不难得到（14）29结果解释由（13）式，λ1，故（14）式给出T’T，Q’Q，RQ，即允许缺货时周期及供货量应增加，周期初的贮存量减少.缺货损失费c3越大（相对于贮存费c2），λ越小，T’越接近T，Q’，R越接近Q.3c,1.,','QRQQTT这个结果合理吗(考虑的意义)？由此不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例.3c当时于是30谢谢观赏！