应用留数定理计算实变函数定积分

-1-应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sinxdxx，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()xdx，在热学中遇到积分0cos(0,axebxdxba为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下：1）利用自变数变换把1l变换为某个新的复数平面上的回路；2）另外补上一段曲线2l，使1l和2l合成回路l，l包围着区域B，则1l上的()fx延拓为B上的()fz，并将它沿l积分，有12()()()lllfzdzfxdxfzdz；3）()lfzdz可以应用留数定理，1()lfxdx就是所求的定积分。如果2()lfzdz较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos,sin)Rxxdx.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2，可以当作定积分x从0变到2，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixze,则dzizdx∴dzdxiz而11cos()22ixixeexzz，11sin()22ixixeexzzii则原积分化为111(,)2()22kzkzzzzdzIRiResfziiz类型二-()fxdx.积分区间为（-,+）；复变函数()fz在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面及实轴上→时,()zfz一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()xx，上述条件意味着()x没有实的零点，()x的次数至少高于()x两次.图2图1-2-如图2，计算积分lim()RRRIfxdx()()()RRlRCfzdzfxdxfzdz根据留数定理，2{()}=()()RRRCifzlfxdxfzdz在所围半圆内各奇点的留数之和令R→，有2{()}=()()RCifzlfxdxfzdz在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max()max()0RRRCCCdzdzRfzdzzfzzfzzfzzfzzzR所以()=2{()}fxdxifzl在所围半圆内各奇点的留数之和类型三0()cosFxmxdx,0()sinGxmxdx.积分区间是[0,+];偶函数()Fx和奇函数()Gx在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面或实轴上→时，()Fx及()Gx一致地→0.约当引理如m为正数，RC是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上→时()Fx一致地→0，则lim()0RimzCRFzedz求解方法：0000111()cos()()()()222imximximximxFxmxdxFxeedxFxedxFxedx经自变量代换，上式变为000111()cos()()()222imximximxFxmxdxFxedxFxedxFxedx同理01()sin()2imxGxmxdxGxedxi由类型二可知2{()}=()()RimximzCifzlFxedxFzedz在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imximxiFxelFxedx在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imximxiGxelGxedx在所围半圆内各奇点的留数之和所以-3-0()cos{()}imzFxmxdxiFze在上半平面所有奇点的留数之和0()sin{()}imxGxmxdxGxe在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形考虑积分-()fxdx，被积函数()fx在实轴上有单极点z，除此之外，()fx满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z为圆心，以充分小的正数为半径作半圆弧绕过奇点构成如图3所示积分回路.于是()()()()()RRlRCCfzdzfxdxfxdxfzdzfzdz取极限R，0，上式左边积分值等于2()iResfz上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零.对于第四项，计算如下：将()fz在z的领域展为洛朗级数，有1()afzPzz其中Pz为级数的解析部分，它在C上连续且有界，因此maxmaxCCPzdzPzdzPz所以0lim0CPzdz而01111iiCCaaadzdzeidiaiResfzze于是-()2()fxdxiResfziResf上半平面若实轴上有有限个单极点，则-()2()fxdxiResfziResfz上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sinxdxx解：由类型三，将原积分改写0sin12ixxedxdxxix图3-4-这个积分的被积函数ixex除了在实轴上有单极点0x外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有10=1=2222ixixeedxzixx被积函数在单极点的留数即0sin=2xdxx推论：对于正的m，00sinsin()2mxmxdxdmxxmx(m＞0)对于负的m，00sinsin2mxmxdxdxxx(m＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()xdx和20cos()xdx解：∵2222sin()Im,cos()Reixixxexe∴2210ixIiIedx取图4所示回路l.由于2ixe没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izledz即22/420()/40()0iRRixizieiCRedxedzede令R.22200()/4/4/40limlim()iiiiiRRRReedeedeed/4(1)28iei/4222222iRRizReizizCCzRedzedzeiziz2RizCedz而222/4102222RiRRieeeiReiRRR（于R）图4-5-2222sin2cos2sin22222222RRRizRiRRiiCCCeeedzReidRdiziReR2sin221max02424ReRR（于R）所以21(1)08IiIi即18I，28I（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分20co0)s(,axebxbdxa为任意实数解：由类型三，将原积分改写2201cos2axaxibxebxdxeedx取如图所示回路，由于矩形区域内函数2axibxe无奇点，所以根据留数定理得20azibzledz即22222340NaxibxazibzazibzazibzNllledxedzedzedz当N时，2222234axibxazibzazibzazibzllledxedzedzedz只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出2axibxedx所以，20cosaxebxdx就可以求出.四、结语图5-6-留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。