2013年高考数学(理)二轮复习 第一阶段 专题二 第二节 三角变换与解三角形

第一阶段专题二知识载体能力形成创新意识配套课时作业考点一考点二考点三第二节返回返回返回返回1．“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.②cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.③tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α＝2sinαcosα.②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.③tan2α＝2tanα1－tan2α.返回2．“熟记”两个定理(1)正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.返回(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.返回返回[考情分析]三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．返回[例1](2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．[思路点拨](1)可以直接代入求值．(2)首先要化简条件得sinα，cosβ，然后用和角公式sin(α＋β)计算．返回[解](1)f(0)＝2sin－π6＝2×－12＝－1.(2)由f3α＋π2＝1013，即2sinα＝1013，所以sinα＝513.由f(3β＋2π)＝65，得2sinβ＋π2＝65，即2cosβ＝65，返回所以cosβ＝35.∵α，β∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1213，sinβ＝1－cos2β＝45.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×35＋1213×45＝6365.返回[类题通法]三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换．特别是“1”的代换，如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等．(2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x＋2cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等．返回(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次．(4)化弦(切)法．将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)．(5)引入辅助角．asinθ＋bcosθ＝a2＋b2sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a，b的符号确定，φ的值由tanφ＝ba确定．返回[冲关集训]1．(2012·深圳调研)已知直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝()A．－73B.73C.57D．1解析：选依题意得，tanα＝2，－3tanβ＝1，即tanβ＝－13，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2－131＋23＝1.D返回2．(2012·哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝()A.2525B.255C.2525或255D.55或525返回解析：选依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45；又α，β均为锐角，因此0αα＋βπ，cosαcos(α＋β)，注意到4555－45，所以cos(α＋β)＝－45.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.A返回3．(2012·德州模拟)已知函数f(x)＝2cos2x2－3sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且fα－π3＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α的值．解：(1)∵f(x)＝2cos2x2－3sinx＝1＋cosx－3sinx＝1＋2cosx＋π3，∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．返回(2)∵fα－π3＝13，∴1＋2cosα＝13，即cosα＝－13.∵α为第二象限角，∴sinα＝223.∴cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sinαcosα＝cosα＋sinα2cosα＝－13＋223－23＝1－222.返回[考情分析]正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．返回[例2](2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.[思路点拨](1)由题设以及正弦定理得到关于A的三角函数值，进而求得A的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到b与c的方程组，进而求得b与c的值．返回[解](1)由acosC＋3asinC－b－c＝0得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.返回[类题通法]解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.返回解析：选由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理及8b＝5c得cosB＝sinC2sinB＝c2b＝45，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×452－1＝725.[冲关集训]4．(2012·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.2425A返回5．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．解析：由正弦定理可知sin∠B＝bsin∠Aa＝3sinπ33＝12，所以∠B＝π6或5π6(舍去)，所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－π3－π6＝π2.答案：π2返回6．(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－13，从而cosA＝－cos(B＋C)＝13.返回(2)由于0Aπ，cosA＝13，所以sinA＝223.又S△ABC＝22，即12bcsinA＝22，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13.解方程组bc＝6，b2＋c2＝13，得b＝2，c＝3，或b＝3，c＝2.返回[考情分析]由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．返回[例3]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；返回(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路点拨]第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S，利用余弦定理把S表示为关于t的函数，利用二次函数求解S的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v，t的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题．返回[解](1)设相遇时小艇航行距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300，故当t＝13时，Smin＝103，v＝303，即小艇以每小时303海里的速度航行，相遇时距离最小．返回(2)若轮船与小艇在B处相遇，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·(30t)·cos(90°－30°)，化简得v2＝400t2－600t＋900＝4001t－342＋675，由于0t≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．返回(3)由(2)知v2＝400t2－600t＋900，令1t＝μ(μ0)，于是有400μ2－600μ＋900－v2＝0，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以6002－1600900－v20，900－v20，解得：153v30，所以v的取值范围为(153，30)．返回[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．返回[冲关集训]7.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin45°＝CDsin30°，BC＝CDsin45°sin30°＝102.在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，AB＝BCtan60°＝106.答案：106返回8．(2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝