【高考专辑】【专题14】2015年高三数学(理)【押题精练】概率与统计

专题14概率与统计天津南开市2015届高三概率与统计要点回扣易错警示查缺补漏3要点回扣1.随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样.[问题1]某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭.在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________.解析由抽样比例可知6x＝480－200－160480，则x＝24.242.对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据.对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率.茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了.[问题2]从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为________.203.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.平均数：样本数据的算术平均数，即(x1＋x2＋…＋xn).平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和.x＝1n平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和.标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].(2)简化计算公式①s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－nx2]，或写成s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方.[问题3]已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是____________.0.15、0.1454.变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn).回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.[问题4]回归直线方程y^＝b^x＋a^必经过点________.(x，y)5.独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表如表：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d根据观测数据计算由公式k＝所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度.nad－bc2a＋ba＋cb＋dc＋d[问题5]为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关.(请用百分数表示)附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋dP(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82899.5%6.互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(1)公式适合范围：事件A与B互斥.(2)P()＝1－P(A).A[问题6]抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________.237.古典概型P(A)＝(其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数)mn[问题7]若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________.1128.几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝d的度量D的度量.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等.即P(A)＝构成事件A的区域长度面积和体积试验的全部结果所构成的区域长度面积和体积[问题8]在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B.1－π12C.π6D.1－π6解析记“点P到点O的距离大于1”为A，P(A)＝23－12×43π×1323＝1－π12.答案B9.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合.解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法.(1)排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝n！n－m！，其中m，n∈N*，m≤n.当m＝n时，Ann＝n·(n－1)·……·2·1＝n！，规定0！＝1.(2)组合数公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…[n－m－1]m！＝n！m！n－m！.(3)组合数性质Cmn＝Cn－mn，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1，规定C0n＝1，其中m，n∈N*，m≤n.[问题9](1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种.(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种.357010.二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cn－1nabn－1＋Cnnbn(n∈N*).通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Crnan－rbr，其中Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数.(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，…，Crn＝Cn－rn.②二项式系数的和等于2n(组合数公式)，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错.③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.[问题10]设x－2x6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B＝________.解析Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)r2xr＝Cr6(－1)r2r362rx，6－32r＝3，r＝2，系数A＝60，二项式系数B＝C26＝15，所以A∶B＝4∶1.4∶111.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别：(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生.(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB).[问题11]设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为________.3512.求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正.还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式.如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk·(1－p)n－k.[问题12]若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________.ξ012345P2x3x7x2x3xx解析根据概率之和为1，求出x＝118，则E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋…＋5x＝40x＝209.20913.一般地，如果对于任意实数ab，随机变量X满足P(aX≤b)＝ʃbaφμ，σ(x)dx，则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.[问题13]已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2解析∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ0)＝P(ξ4)＝0.2，∴P(0ξ4)＝1－P(ξ0)－P(ξ4)＝0.6.∴P(0ξ2)＝P(0ξ4)＝0.3.12易错点1统计图表识图不准致误易错点2在几何概型中“测度”确定不准致误易错点3分不清是排列还是组合致误易错警示易错点4均匀分组与非均匀分组混淆致误易错点1统计图表识图不准致误例1如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人.错解由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.∴估计年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人).找准失分点本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误.频率组距正解由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人).答案72易错点2在几何概型中“测度”确定不准致误例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率.错解记AMAC为事件E，设CA＝CB＝a，因为△ABC是直角三角形，所以，AB＝2a，在AB上取一点D，使AD＝AC＝a，那么对线段AD上的任意一点M都有AMAD，即AMAC，因此AMAC的概率为P(E)＝ADAB＝a2a＝22.找准失分点据题意，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，射线CM在∠ACB内部均匀分布，但是点M在AB上的分布不是均匀的.正解在AB上取一点D，使AD＝AC，因为AD＝AC＝a，∠A＝π4，所以∠ACD＝∠ADC＝3π8，则P(E)＝∠ACD∠ACB＝3π8π2＝34.易错点3分不清是排列还是组合致误例3如图所示，A，B，C，D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解对于有一个中心的结构形式有，A44对于四个岛依次相连的形式有，A44∴共有2＝48(种).A44找准失分点没有分清是排列还是组合.正解由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C14种方法.对于第二种结构，有C24A22种方法.∴总共有C14＋C24A22＝16(种).易错点4均