搜索
第11讲函数与方程双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录教学要求返回目录1．了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系．2．了解用二分法求方程近似解的过程．3．体会二分法求方程近似解的思想．4．结合函数的图像判断方程根的存在性及根的个数．1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与________有交点⇔函数y＝f(x)有________．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有______________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个______也就是方程f(x)＝0的根．第11讲函数与方程双向固基础返回目录f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c4.二次函数的零点Δ0Δ＝0Δ0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的个数________________________函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数________________________双向固基础第11讲函数与方程返回目录有两个不相等的实根有两个相等的实根无实根有两个零点有一个二重零点没有零点Δ0Δ＝0Δ0a0函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像a0函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点个数________________________双向固基础第11讲函数与方程返回目录有两个交点有一个交点没有交点5.二分法(1)对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：第一步，确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点c.双向固基础第11讲函数与方程返回目录f(a)·f(b)0一分为二零点f(a)·f(b)0第三步，计算________．①若________，则c就是函数的零点；②若___________，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若___________，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|ε，则得到零点的近似值a(或b)；否则，重复第二、三、四步．双向固基础第11讲函数与方程返回目录f(c)f(c)＝0f(a)·f(c)0f(c)·f(b)0——链接教材——双向固基础第11讲函数与方程[答案]0，1返回目录1．函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是________．[解析]解方程x3－2x2＋x＝0，得x＝0或x＝1，所以函数的零点是0或1.双向固基础第11讲函数与方程[答案]（1e，1）返回目录2．给出三个区间0，1e，1e2，1e，1e，1，则函数f(x)＝x＋lnx的零点所在的一个区间是________．[解析]当x从1趋近于0时，lnx趋近于负无穷大，所以f(x)趋近于负无穷大，而f(1e)＝1e＋ln1e＝1e－10，f(1e2)＝1e2＋ln1e2＝1e2－20，f(1)＝1＋ln10，所以函数的零点所在的区间是(1e，1).双向固基础第11讲函数与方程[答案]－1，2返回目录3．已知函数f(x)＝x2－x，则函数g(x)＝4－[f(x)]2的零点是________．[解析]由4－[f(x)]2＝0，得(x2－x)2－4＝0，即x2－x－2＝0或x2－x＋2＝0，第一个方程的解为x＝－1或x＝2，第二个方程无解，所以函数g(x)的零点为－1，2.——疑难辨析——双向固基础第11讲函数与方程函数零点概念辨析(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．()(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)0，则函数f(x)有零点．()(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点．()(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．()返回目录双向固基础第11讲函数与方程[解析](1)函数的零点不是函数图像与x轴的交点，而是图像与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(2)仅由f(x1)f(x2)0判断函数在某区间上有没有零点是不够的，应按零点存在定理判断．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)0，函数在区间[a，b]上也可能存在零点，如f(x)＝|x－1|，f(0)f(2)＞0，函数有零点1.(4)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但零点的个数还要根据函数的单调性作进一步研究．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√返回目录•点面讲考向第11讲函数与方程例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1，8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1，2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1，3]．返回目录►探究点一函数零点的概念与判断点面讲考向第11讲函数与方程［思考流程］对于区间上连续不断的函数，在区间[a，b]内寻根，利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)0是否成立．解：(1)方法一，∵f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1，8]内存在零点．方法二，令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或x＝6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1，8]内存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在区间[－1，2]内存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0.∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在区间[1，3]内存在零点．返回目录第11讲函数与方程［归纳总结］函数零点的判定方法：(1)定义法：使用零点存在性定理，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．特别提醒：①y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，否则结论不一定成立．②当f(a)·f(b)＜0时，在区间(a，b)内至少有一个零点(也可能存在多个)．③当y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f(a)·f(b)＜0，特别是当f(a)·f(b)＞0时不能肯定在(a，b)内无零点．(2)图像法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑图像法求解．如f(x)＝g(x)－h(x)，画出y＝g(x)和y＝h(x)的图像，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．点面讲考向返回目录点面讲考向第11讲函数与方程变式题下列函数中，在区间(－1，1)上有零点且单调递增的是________(请填写序号)．①y＝log2(x＋2)；②y＝2x－1；③y＝x2－12；④y＝－x2.返回目录[答案]②[解析]易知在区间(－1，1)上单调递增的函数只有y＝log2(x＋2)和y＝2x－1.又y＝log2(x＋2)的零点为x＝－1，y＝2x－1的零点为x＝0，所以②符合题意．•点面讲考向第11讲函数与方程例2(1)[2013·唐山二模]函数f(x)＝2sinπx－3x－x2所有零点的和等于________．(2)[2013·浙江五校联考]函数f(x)＝2x－|x2－1|－1的零点个数为________．返回目录►探究点二函数零点的判断点面讲考向第11讲函数与方程[思考流程](1)分析：将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题．推理：构造两个函数h(x)＝2sinπx，g(x)＝3x－x2，作出它们的图像．结论：根据图像判断交点的个数及交点的横坐标之和．(2)分析：利用图像法求解．推理：作出函数y＝2x－1和y＝|x2－1|的图像．结论：根据图像判断交点的情况，特别要注意指数函数和二次函数的变化速度的快慢问题．[答案](1)6(2)3返回目录点面讲考向第11讲函数与方程返回目录[解析](1)令h(x)＝2sinπx，g(x)＝3x－x2，则函数f(x)的零点即为函数h(x)与g(x)的图像交点的横坐标．因为h(0)＝g(0)，所以x＝0是函数f(x)的一个零点．函数g(x)的定义域为[0，3]，h(3)＝g(3)＝0，两个函数的图像都关于直线x＝32对称，如图所示．由图可知，这两个函数的图像在区间[0，3]上有4个交点，且这些交点关于直线x＝32对称，而且两个关于直线x＝32对称的点的横坐标之和等于3，故函数f(x)所有零点的和是6.点面讲考向第11讲函数与方程返回目录(2)令f(x)＝2x－|x2－1|－1＝0，得2x－1＝|x2－1|.作出函数y＝2x－1和y＝|x2－1|的图像，如图所示，由图像可知，函数f(x)有一个零点x1∈(0，1)，另一个零点x2＝2.因为y＝2x－1的变化速度大于y＝|x2－1|的变化速度，所以在区间(2，＋∞)上必含有一个零点，由图像可知该零点为x3＝4.(1)题图(2)题图点面讲考向第11讲函数与方程返回目录[归纳总结]函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点．令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理．利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图像交点的个数．画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．点面讲考向第11讲函数与方程变式题(1)[2013·山东枣庄一模]函数f(x)＝x＋1，x≥0，x2＋x，x0的零点的个数为________．(2)[2013·浙江六校联考]若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，并且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．返回目录[答案](1)1(2)4点面讲考向第11讲函数与方程返回目录[解析](1)当x≥0时，由f(x)＝0，得x＋1＝0，此时x＝－1不成立；当x0时，由f(x)＝0，得x2＋x＝0，此时x＝－1或x＝0(舍去)．所以函数f(x)有1个零点．(2)由已知等式，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数．又y＝log3|x|为偶函数，只需讨论y＝f(x)－log3|x|在x0时的零点个数便可．作出函数y＝f(x)和y＝log3|x|在区间(0，＋∞)上的图像，如图所示，观察可知，图像有两个交点．根据偶函数图像的对称性知，函数y＝f(x)－1og3|x|的零点有4个．•点面讲考向第11讲函数与方程例3[2013·扬州中学月考]已知函数g(x)＝ax2－2a·x＋1＋b(a≠0，b1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝g（x）x.(1)求a，b的值；(2)方程f(|2x－1|)＋k2|2x－1|－3＝0有三个不同的实数解，求实数k的范围．返回目录►探究点三函数零点的综合问题点面讲考向第11讲函数与方程解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，当a0时，g(x)在区间[2，3]上为增函数，故g（3）＝4，g（2）＝1，即9a－6a＋1＋