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第7讲二次函数双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录教学要求返回目录1．掌握二次函数的概念、图像特征．2．掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．3．掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系．1．二次函数解析式的三种形式形式解析式(a≠0)一般式f(x)＝_________________顶点式f(x)＝_________________两根式f(x)＝_________________第7讲二次函数双向固基础ax2＋bx＋c返回目录a(x－m)2＋na(x－x1)(x－x2)2.二次函数的单调性及最值二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)a0a0图像双向固基础第7讲二次函数返回目录（续表）a0a0顶点坐标______________________单调区间递增区间____________________________________递减区间____________________________________最值当x＝____________时，ymin＝________________当x＝____________时，ymax＝________________双向固基础第7讲二次函数返回目录（－b2a，4ac－b24a）－b2a，＋∞－∞，－b2a－∞，－b2a－b2a，＋∞－b2a4ac－b24a－b2a4ac－b24a3.二次函数在闭区间上的最值若a＞0，二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的最大值为M，最小值为N，令x0＝12(p＋q)．(1)若－b2a＜p，则M＝______，N＝______；(2)若－b2a＞q，则M＝______，N＝______；(3)若p≤－b2a≤x0，则M＝______，N＝________；(4)若x0＜－b2a≤q，则M＝________，N＝________．双向固基础第7讲二次函数返回目录f(q)f(p)f(p)f(q)f(q)f（－b2a）f(p)f（－b2a）4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的两个根x1，x2的分布范围与二次方程系数之间的关系根的分布图像充要条件x1x2kΔ0，f(k)0，－b2akx1，x2∈(k1，k2)Δ≥0，f(k1)0，f(k2)0，k1－b2ak2x1kx2f(k)0双向固基础第7讲二次函数返回目录5.一元二次不等式的解集与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系(1)若a0，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根x1，x2(x1x2)，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为_______________；不等式ax2＋bx＋c0的解集为_____________．(2)若a0，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实根x0，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为______．(3)若a0，方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为______；不等式ax2＋bx＋c0的解集为______．双向固基础第7讲二次函数返回目录{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}∅∅R——链接教材——双向固基础第7讲二次函数[答案]2返回目录1．[教材改编]给出三个区间[－1，3)，(2，4)，(－2，1]，则使函数f(x)＝x2－2x能够取得最小值的区间有________个．[解析]作出函数的图像，可以看出，函数在区间[－1，3)和(－2，1]上可取得最小值．双向固基础第7讲二次函数[答案](－∞，＋∞)返回目录2．[教材改编]函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，－x2＋4x，x0的单调递增区间是________．[解析]作图可知，函数f(x)是奇函数，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．双向固基础第7讲二次函数[答案]返回目录3．[教材改编]若f(x)＝x2＋ax＋b，x1≠x2，则fx1＋x22________f（x1）＋f（x2）2(填“”“＝”或“”)．[解析]因为f（x1）＋f（x2）2－f(x1＋x22)＝x21＋x22＋a（x1＋x2）＋2b2－（x1＋x2）2＋2a（x1＋x2）＋4b4＝x21＋x22－2x1x24＝（x1－x2）24，且x1≠x2，所以f（x1）＋f（x2）2－f(x1＋x22)0.——疑难辨析——双向固基础第7讲二次函数1．二次函数单调性的求解误区(1)已知二次函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3.①函数f(x)的单调递增区间是(－∞，2]，则k＝22.()②函数f(x)在区间(－∞，2]上单调递增，则k＝±22.()(2)函数f(x)＝x2－kx＋1是区间(－1，2)上的单调函数，则k≥4.()返回目录双向固基础第7讲二次函数[解析](1)①图像开口向下，k2－10，且－22（k2－1）＝2，得k＝±22.②图像开口向下，k2－10，且－22（k2－1）≥2，得k≥22或k≤－22.要注意与第①题的区别．(2)函数图像的对称轴为x＝k2，依题意有k2≤－1或k2≥2，得k≤－2或k≥4.[答案](1)①×②×(2)×返回目录双向固基础第7讲二次函数2．二次函数求最值时的注意问题(1)已知二次函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3，函数f(x)有最小值，则k1或k－1.()(2)已知二次函数f(x)＝x2－4x＋5，若x∈[0，3]，则函数的最大值为f(0)＝5，最小值为f(3)＝2.()[答案](1)√(2)×返回目录[解析](1)因为二次函数f(x)有最小值，所以k21，解得k1或k－1.(2)因为函数图像的顶点的横坐标x0＝2∈[0，3]，且图像开口向上，所以最小值为f(2)＝1，最大值为离开对称轴较远的端点所对应的函数值，即f(0)＝5为最大值．双向固基础第7讲二次函数3．三个“二次”之间关系的易错点(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个根为x1，x2(x1x2)，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．()(2)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，且x1＋x22，x1x21，则x1，x2均大于1.()[答案](1)×(2)×返回目录[解析](1)没有考虑二次函数图像的开口方向，实际解应该为当a0时，原不等式的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)；当a0时，原不等式的解集为(x1，x2)．(2)如x1＝3，x2＝23也满足上述不等式，却不能保证两根均大于1.•点面讲考向第7讲二次函数例1已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数．(1)求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；(2)设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1，x2的倒数和为23，求这个二次函数的解析式．返回目录►探究点一求二次函数的解析式点面讲考向第7讲二次函数［思考流程］条件：给出一个带参数的二次函数．目标：(1)证明二次函数的图像与x轴必有两个交点；(2)求二次函数的解析式．方法：(1)用判别式判断；(2)利用根与系数的关系将1x1＋1x2＝23表示为关于m的方程，解方程得到m的值，从而得到函数的解析式．解：(1)证明：易知与原二次函数对应的一元二次方程是x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0.因为Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12＝160，所以方程x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0必有两个不相等的实数根．故不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点．返回目录第7讲二次函数(2)由题意可知x1，x2是方程x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0的两个实数根，所以x1＋x2＝2(m－1)，x1x2＝m2－2m－3.因为1x1＋1x2＝23，即x1＋x2x1x2＝23，所以2（m－1）m2－2m－3＝23，①解得m＝0或m＝5，经检验，m＝0，m＝5都是方程①的解．故所求二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12.点面讲考向返回目录第7讲二次函数［归纳总结］(1)求二次函数的解析式，使用待定系数法，即根据题设条件，恰当选择二次函数的形式，可使运算简捷．(2)求其他函数的解析式，在已知函数类型时，也可使用待定系数法．点面讲考向返回目录•点面讲考向第7讲二次函数变式题已知二次函数f(x)同时满足条件：①f(1＋x)＝f(1－x)；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式．返回目录•点面讲考向第7讲二次函数解：由题意可设f(x)＝a(x－1)2＋15，其中a0，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.设f(x)＝0的两个根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝2，x1x2＝a＋15a.又x31＋x32＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝2－90a，∴2－90a＝17，解得a＝－6.∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.返回目录•点面讲考向第7讲二次函数例2是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．返回目录►探究点二二次函数的图像与性质及应用[思考流程]条件：已知带参数的二次函数解析式和定义域、值域．目标：判断存在性问题是否有解．方法：以二次函数图像的对称轴作为主要的分类标准，对不同情况下的a值的存在性进行讨论．点面讲考向第7讲二次函数解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a－1时，f(x)在区间[－1，1]上为增函数，所以f（－1）＝1＋3a＝－2，f（1）＝1－a＝2，解得a＝－1，与a－1矛盾；当－1≤a≤0时，f(x)在区间[－1，a)上为减函数，在区间(a，1]上为增函数，此时f（a）＝a－a2＝－2，f（1）＝1－a＝2，解得a＝－1；当0a≤1时，f(x)在区间[－1，a)上为减函数，在区间(a，1]上为增函数，返回目录点面讲考向第7讲二次函数此时f（a）＝a－a2＝－2，f（－1）＝1＋3a＝2，该方程组无解；当a1时，f(x)在区间[－1，1]上为减函数，所以f（－1）＝1＋3a＝2，f（1）＝1－a＝－2，该方程组无解．综上可得a＝－1.返回目录[归纳总结](1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要是对二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．•点面讲考向第7讲二次函数例3已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两个实根，其中一个根在区间(－1，0)内，另一个根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)若方程的两个根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．返回目录►探究点三一元二次方程根的分布问题[思考流程]第一步，画出方程对应二次函数的图像；第二步，根据“Δ、对称轴、区间端点函数值的符号”进行判断．点面讲考向第7讲二次函数返回目录解：(1)由题意可知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，易得f（0）＝2m＋10，f（－1）＝20，f（1）＝4m＋20，f（2）＝6m＋50，解得m－12，m∈R，m－12，m－56，∴－56m－12.点面讲考向第7讲二次函数返回目录(2)由题意可知，抛物线与x轴交点均落在区间(0，1)内，f（0）＝2m＋10，f（1）＝4m＋20，Δ≥0，0－m1，解得m－12，m－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1m0，∴－12m≤1－2.点面讲考向第7讲二次函数[归纳总结]一元二次方程的根的分布问题以“三个