【高考导航】2015高考数学一轮总复习 专题一 函数与导数综合题的解答课件 理

第二章基本初等函数、导数及其应用专题一函数与导数综合题的解答目录ONTENTS1聚焦考向透析2学科能力提升首页尾页上页下页聚焦考向透析基础知识梳理学科能力提升考纲点击例题精编聚焦考向透析C考向一利用导数研究函数图象(2013·高考浙江卷)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()回归反思解题过程方法分析回归反思例题精编聚焦考向透析C①题目条件：导函数f′(x)的图象变化特征．②解题目标：判断原函数f(x)图象变化特征．(2013·高考浙江卷)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解题过程方法分析③转化关系：导函数值的大小变化⇔原函数值的变化．考向一利用导数研究函数图象聚焦考向透析C聚焦考向透析C从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．【答案】B回归反思解题过程方法分析考向一利用导数研究函数图象聚焦考向透析C聚焦考向透析C①给出函数解析式或者某些函数图象来识别其它函数图象，除根据一般方法研究性质外，利用导数也是一种技巧．回归反思解题过程方法分析②此类题易采用排除法，根据函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、零点个数等依次排除得答案．考向一利用导数研究函数图象例题精编聚焦考向透析C考向二利用导数研究函数性质(2012·高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．回归反思解题过程方法分析回归反思例题精编聚焦考向透析CⅠ.题目条件：前提条件是两个待定解析式，在(1)中有共同切点的切线，(2)中有a2＝4b.Ⅱ.解题目标：(1)利用切线求a，b.(2)求f(x)＋g(x)的单调区间并求最值x∈(－∞，1]．解题过程方法分析Ⅲ.转化关系：(1)中题意转化为f′（1）＝g′（1）f（1）＝g（1）.(2)中转化为求h′(x)＞0，h′(x)＜0的解由极值求最值．考向二利用导数研究函数性质(2012·高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．聚焦考向透析C聚焦考向透析C(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当b＝14a2时，h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0，得x1＝－a2，x2＝－a6.回归反思解题过程方法分析考向二利用导数研究函数性质聚焦考向透析C聚焦考向透析Ca＞0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：X错误！－a2错误！－a6错误！h′(x)＋00＋h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为－∞，－a2和－a6，＋∞；单调递减区间为－a2，－a6.回归反思解题过程方法分析考向二利用导数研究函数性质聚焦考向透析C聚焦考向透析C当－a2≥－1，即0＜a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2＜－1，且－a6≥－1，即2＜a≤6时，函数h(x)在区间－∞，－a2上单调递增，在区间－a2，－1上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.回归反思解题过程方法分析考向二利用导数研究函数性质聚焦考向透析C聚焦考向透析C当－a6＜－1，即a＞6时，函数h(x)在区间(－∞，－a2)上单调递增，在区间－a2，－a6上单调递减，在区间－a6，－1上单调递增，又因为h－a2－h(－1)＝1－a＋14a2＝14(a－2)2＞0，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.回归反思解题过程方法分析考向二利用导数研究函数性质聚焦考向透析C聚焦考向透析C①用导数研究函数的性质比用初等方法要方便得多，更具有普遍的适用性．回归反思解题过程方法分析②涉及曲线的切线，就要考虑用导数的几何意义建立关系．考向二利用导数研究函数性质③利用导数研究函数的单调性及最值．利用列表法，研究h′(x)的正负及单调区间一目了然．求最值时，要考虑极值点，－92，－96与区间(－∞，－1]的关系，所以分类讨论来确定最值．例题精编聚焦考向透析C考向三不等式证明及参数范围问题(2013·高考辽宁卷)(1)证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；(2)若不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．回归反思解题过程方法分析回归反思例题精编聚焦考向透析CⅠ.题目条件：x∈[0，1]及函数y＝22x，y＝sinx，y＝x，y＝ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx.解题过程方法分析Ⅱ.解题目标：(1)比较sinx与22x，sinx与x的大小关系．(2)不等式恒成立，求a.考向三不等式证明及参数范围问题(2013·高考辽宁卷)(1)证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；(2)若不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．回归反思例题精编聚焦考向透析CⅢ.转化关系：构造函数F(x)＝sinx－22x，H(x)＝sinx－x，f(x)＝ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx－4.当x∈[0，1]时，F(x)≥0，H(x)≤0，f(x)max≤0.解题过程方法分析考向三不等式证明及参数范围问题(2013·高考辽宁卷)(1)证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；(2)若不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．聚焦考向透析C聚焦考向透析C(1)证明：记F(x)＝sinx－22x，则F′(x)＝cosx－22.当x∈0，π4时，F′(x)0，F(x)在0，π4上是增函数；当x∈π4，1时，F′(x)0，F(x)在π4，1上是减函数．又F(0)＝0，F(1)0，所以当x∈(0，1)时，F(x)≥0，即sinx≥22x.回归反思解题过程方法分析考向三不等式证明及参数范围问题聚焦考向透析C聚焦考向透析C记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cosx－10，所以H(x)在[0，1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，22x≤sinx≤x，x∈[0，1]．回归反思解题过程方法分析考向三不等式证明及参数范围问题(2)记f(x)＝ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx－4，则f′(x)＝a＋2x＋3x22＋2cosx－2(x＋2)sinx.记G(x)＝f′(x)，则G′(x)＝2＋3x－4sinx－2(x＋2)cosx.聚焦考向透析C聚焦考向透析C当x∈(0，1)时，cosx＞12，因此G′(x)＜2＋3x－4×22x－(x＋2)＝(2－22)x＜0于是f′(x)在[0，1]上是减函数，因此当x∈[0，1]时，f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)≤0，从而f(x)在[0，1]上是减函数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立．∴a≤－2.回归反思解题过程方法分析考向三不等式证明及参数范围问题聚焦考向透析C聚焦考向透析C回归反思解题过程方法分析①证明不等式f(x)≥g(x)，常采用构造函数法H(x)＝f(x)－g(x)，从而证明H(x)≥0即可．②若f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，从而求a的范围．考向三不等式证明及参数范围问题真题试做速效提升1．(2013·高考全国新课标卷)已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－e－xx(x－2)．①当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(0，2)时，f′(x)0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．学科能力提升C学科能力提升C学科能力提升C真题试做速效提升学科能力提升C学科能力提升C学科能力提升C故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．所以l在x轴上的截距为m(t)＝t－f（t）f′（t）＝t＋tt－2＝t－2＋2t－2＋3.由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝x＋2x(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[22，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[22＋3，＋∞)．综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[22＋3，＋∞)．2．已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．真题试做速效提升学科能力提升C真题试做速效提升学科能力提升C解析：(1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx.从而f′(x)＝alnx.因为a≠0，故①当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1；②当a＜0时，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1.综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx.由(2)可得，当x在区间1e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1e1e，11(1，e)ef′(x)－0＋f(x)2－2e单调递减极小值1单调递增2又2－2e＜2，所以函数f(x)x∈1e，e的值域为[1，2]．据此可得，若m＝1，M＝2.则对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点；并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都没有公共点．综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点．真题试做速效提