高中几何概型典型例题 (1)

几何概型1．(2009年高考福建卷)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：设事件M为“劣弧的长度小于1”，则满足事件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M)＝23.答案：232．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：设所求的面积为S，由题意得6001000＝S5×12，∴S＝36.答案：363．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．解析：P＝18×43πa3a3＝π6.答案：π64．(2010年扬州调研)已知集合A{x|－1x5}，B＝{x|x－23－x0}，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是________．解析：由题意得A＝{x|－1x5}，B＝{x|2x3}，由几何概型知：在集合A中任取一个元素x，则x∈A∩B的概率为P＝16.答案：165．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．答案：256．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长度超过2R的概率是________．解析：连结圆心O与M点，作弦MN使∠MON＝90°，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MN2R，此时∠N1ON2＝180°，故所求的概率为180°360°＝12.答案：127．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落入区域E的概率为________．解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB边界及其内部的部分，区域E表示的平面区域为△COD边界及其内部的部分，所以点P落入区域E的概率为S△CODS△AOB＝12×2×412×6×6＝29.答案：298．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是从区间[0,4]任取的一个数，则f(1)＞0成立的概率是________．解析：f(1)＝－1＋a－b＞0，即a－b＞1，如图：A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝92，P＝S△ABCS矩＝924×4＝932.答案：9329．在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝12x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．解析：f′(x)＝32x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝12x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)0成立，即(－12－a－b)(12＋a－b)0，则(12＋a＋b)(12＋a－b)0，可化为0≤a≤10≤b≤112＋a－b012＋a＋b0或0≤a≤10≤b≤112＋a－b0，12＋a＋b0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)＝12x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a＝0，a＝1，b＝0，b＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.答案：7810．设不等式组0≤x≤60≤y≤6表示的区域为A，不等式组0≤x≤6x－y≥0表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率；(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率．解：(1)设集合A中的点(x，y)∈B为事件M，区域A的面积为S1＝36，区域B的面积为S2＝18，∴P(M)＝S2S1＝1836＝12.(2)设点(x，y)在区域B为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为36个，其中在区域B中的点(x，y)有21个，故P(N)＝2136＝712.11．(2010年江苏南通模拟)已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0,0≤a≤2,1≤b≤3}．(1)若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；(2)若a，b∈R，求A∩B＝∅的概率．解：(1)因为a，b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则f′(x)＝a＋bln2·2x.因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)＞0，即f(x)在[－1,0]上是单调递增函数．f(x)在[－1,0]上的最小值为－a＋b2－1.要使A∩B≠∅，只需－a＋b2－1＜0，即2a－b＋2＞0.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组．所以A∩B≠∅的概率为79.(2)因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.由(1)可知，要使A∩B＝∅，只需f(x)min＝－a＋b2－1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足A∩B＝∅的(a，b)对应的区域是如图阴影部分．所以S阴影＝12×1×12＝14，所以A∩B＝∅的概率为P＝144＝116.12．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a(13≤a≤1)的概率．解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1－x－y，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜1}，此区域面积为12.事件“三段的长度都不超过a(13≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为A＝{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}．即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a≤12时，为(3a－1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a(13≤a≤1)”的概率为P＝(3a－1)2/21/2＝(3a－1)2；当12≤a≤1时，为12－3(1－a)22.此时事件“三段的长度都不超过a(13≤a≤1)”的概率为P＝1－3(1－a)2.