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3.2.33.2.3直线的一般式方程[学习要求]1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．[学法指导]通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般式；通过直线方程的五种形式间的相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与相互转化.填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3填一填·知识要点、记下疑难点1．关于x，y的二元一次方程(其中A，B)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．比较直线方程的五种形式形式方程局限点斜式不能表示k不存在的直线斜截式不能表示k不存在的直线Ax＋By＋C＝0不同时为0y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3填一填·知识要点、记下疑难点两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1x1≠x2，截距式xa＋yb＝1不能表示一般式无y1≠y2与坐标轴平行及过原点的直线Ax＋By＋C＝0填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3[问题情境]前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x，y这两个变量，并且x，y的次数都是一次的，即它们都是关于x，y的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．研一研·问题探究、课堂更高效填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3探究点一直线的一般式方程问题1平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？答都可以，原因如下：(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k存在；直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)直线和y轴平行(包括重合)时：此时倾斜角α＝π2，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，把它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.小结任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．研一研·问题探究、课堂更高效填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效问题2每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？答能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－ABx－CB，它表示过点(0，－CB)，斜率为－AB的直线．当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0变成Ax＋C＝0，即x＝－CA，它表示与y轴平行或重合的一条直线．小结直线方程都是关于x，y的二元一次方程；关于x，y的二元一次图象又都是一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式．填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3问题3直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？研一研·问题探究、课堂更高效答直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线．填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效问题4在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)平行于y轴；(3)与x轴重合；(4)与y轴重合．答当A＝0时，方程变为y＝－CB，当C≠0时表示的直线平行于x轴，当C＝0时与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－CA，当C≠0时表示的直线平行于y轴，当C＝0时与y轴重合．填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效例1已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－43，求直线的点斜式和一般式方程．解经过点A(6，－4)，斜率等于－43的直线的点斜式方程是y＋4＝－43(x－6)．化成一般式，得4x＋3y－12＝0.小结对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，求实数m的取值范围．解方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则2m2＋m－3＝0与m2－m＝0不能同时成立．解2m2＋m－3＝0，m2－m＝0，得m＝1.故m的取值范围为(－∞，1)∪(1，＋∞).填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效探究点二直线方程五种表达形式的转化例2把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．解将原方程移项，得2y＝x＋6，两边除以2，得斜截式y＝12x＋3.因此，直线l的斜率k＝12，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6，即直线l在x轴上的截距是－6.由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(－6,0)，B(0,3)，过点A，B作直线，就得直线l的图形．如下图．填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效小结任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了．由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3跟踪训练2求直线3x＋2y＋6＝0的斜截式和截距式方程．研一研·问题探究、课堂更高效解斜截式方程y＝－32x－3.截距式方程x－2＋y－3＝1.填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效探究点三综合问题例3已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．解(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效小结一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程，并将直线的方程化为一般式．解由题意知直线不过原点，且与两坐标轴都相交，可设直线l的方程为xa＋yb＝1，∵直线l过点P(－5，－4)，∴－5a＋－4b＝1，即4a＋5b＝－ab.又12|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，解方程组4a＋5b＝－ab，|ab|＝10填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3研一研·问题探究、课堂更高效得a＝－52，b＝4或a＝5，b＝－2.故所求直线l的方程为x－52＋y4＝1或x5＋y－2＝1.即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.31．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠0练一练·当堂检测、目标达成落实处D解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3练一练·当堂检测、目标达成落实处2．已知ab0，bc0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限解析由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，∵ab0，∴直线的斜率k＝－ab0，直线在y轴上的截距cb0.由此可知直线通过第一、三、四象限．C填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3练一练·当堂检测、目标达成落实处3．直线mx＋y－m＝0，无论m取什么实数，它都过点______．解析将mx＋y－m＝0变形为(x－1)m＋y＝0，令x＝1，得y＝0，∴直线过定点(1,0)．(1,0)填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3练一练·当堂检测、目标达成落实处4．求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．解方法一设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝12.∴y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.方法二设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0.填一填研一研练一练本课时栏目开关3.2.3练一练·当堂检测、目标达成落实处1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax＋By＋C＝0化为截距式有两种方法：一是令x＝0，y＝0，分别求得直线在y轴上的截距和在x轴上的截距；二是移常项，得Ax＋By＝－C，两边除以－C(C≠0)，再整理即可.填一填研一研练一练本课时栏目开关