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1第二章函数、导数及其应用,(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|2x－1＞1}，则A∩B＝()A.{x|x＞1}B.{x|x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.∅解析：集合B中不等式2x－1＞1⇒2x－1＞20⇒x＞1，所以A∩B＝{x|1＜x＜3}.答案：C2.函数f(x)＝lnx－1x的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1，e)C.(e,3)D.(3，＋∞)解析：代入验证可知，只有B中：f(1)·f(e)＝(ln1－11)(lne－1e)＜0，又∵f′(x)＝1x＋1x2＝x＋1x2＞0，故在(1，e)上函数f(x)存在零点.答案：B3.设m，n∈R，函数y＝m＋lognx的图象如图所示，则有()A.m＜0,0＜n＜1B.m＞0，n＞1C.m＞0,0＜n＜1D.m＜0，n＞1解析：由函数图象可知该函数为增函数，所以n＞1，又图象与x轴的交点在(0,1)之间，故该图象是由y＝lognx的图象向上平移得到的，所以m＞0.答案：B4.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A.y＝2x－2B.y＝(12)xC.y＝log2xD.y＝12(x2－1)解析：直线是均匀的，故选项A不是；指数函数y＝(12)x是单调递减的，也不符合要求；2对数函数y＝log2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求.答案：D5.(文)已知函数f(x)＝4040.xxxxxx（），，（），≥则函数f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析：当x＜0时，由x(x＋4)＝0⇒x＝－4；当x≥0时，由x(x－4)＝0⇒x＝4或x＝0.答案：C(理)已知f(x)＝123040xxxxx，，++3，，≥则方程f(x)＝2的实数根的个数是()A.0B.1C.2D.3解析：令31－x＝2，∴1－x＝log32.∴x＝1－log32.又∵log32log33＝1，∴x＝1－log320.∴这个实根符合题意.令x2＋4x＋3＝2，则x2＋4x＋1＝0.解得两根x1＝－2－3，x2＝－2＋3，x1和x2均小于0，符合题意.答案：D6.曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为()A.112B.16C.13D.12解析：由题可知，曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，令y＝0，得x＝23，画出图形可知，所围成三角形的面积为S＝12×(1－23)×1＝16.答案：B7.函数f(x)＝ln(1－x2)的图象只可能是()解析：函数f(x)＝ln(1－x2)的定义域为(－1,1)，且f(x)为偶函数，当x∈(0,1)时，函数f(x)＝ln(1－x2)为单调递减函数；当x∈(－1,0)时，函数f(x)为单调递增函数，且函数值都小于零，所以其图象为A.答案：A38.已知π4xπ2，设a＝21－sinx，b＝2cosx，c＝2tanx，则()A.abcB.bacC.acbD.bca解析：因为π4xπ2，所以0cosxsinx1tanx，而sinx＋cosx1，cosx1－sinx，故abc.答案：A9.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：由导函数f′(x)的图象可知，f′(x)在x∈(0,2)上恒大于零，在x∈(2，＋∞)上恒小于0，由函数的导数与函数的单调性关系可以知道，函数f(x)在x∈(0,2)上单调递增，在x∈(2，＋∞)上单调递减，结合选项可知选D.答案：D10.已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为()A.55B.255C.355D.455解析：将直线2x－y－3＝0平移到与函数y＝ex＋x的图象相切时，切点到直线2x－y－3＝0的距离最短，故关键是求出切点的坐标.由y′＝ex＋1＝2解得x＝0，代入函数y＝ex＋x易得y＝1，点(0,1)到直线2x－y－3＝0的距离为|0－1－3|5＝455.答案：D11.已知f(x)＝3141log1.aaxaxxx（），，≥是R上的减函数，那么a的取值范围是()A.(0,1)B.(0，13)C.[17，13)D.[17，1)解析：依题意有0a1且3a－1＜0，得0a13，考虑端点x＝1，则(3a－1)＋4a≥0得a≥17.答案：C412.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(12)＝0，则满足f(log14x)＜0的x的集合为()A.(－∞，12)∪(2，＋∞)B.(12，1)∪(1,2)C.(12，1)∪(2，＋∞)D.(0，12)∪(2，＋∞)解析：∵函数f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，f(12)＝0，∴log14＞12或log14x＜－12，∴0＜x＜12或x＞2.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填写在题中的横线上.)13.已知函数f(x)＝22log0,1(0)xxxx（）≤则不等式f(x)＞0的解集为.解析：当x＞0时，－log2x＞0，即log2x＜0∴0＜x＜1，当x≤0时，1－x2＞0，即x2＜1，∴－1＜x≤0，综上所述：f(x)＞0的解集为(－1,1).答案：(－1,1)14.若x1、x2为方程2x＝111()2x的两个实数解，则x1＋x2＝.解析：∵2x＝111()2x＝211x，∴x＝1x－1，即x2＋x－1＝0，∴x1＋x2＝－1.答案：－115.(文)已知曲线C：y＝lnx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是.解析：由已知得y′＝1x－4，所以当x＝1时有y′＝－3，即过点P的切线的斜率k＝－53，又y＝ln1－4＝－4，故切点P(1，－4)，所以点P处的切线方程为y＋4＝－3(x－1)，即3x＋y＋1＝0.答案：3x＋y＋1＝0(理)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若∫1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝.解析：∫1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝13.答案：－1或1316.(文)以下四个命题，是真命题的有(把你认为是真命题的序号都填上).①若p：f(x)＝lnx－2＋x在区间(1,2)上有一个零点；q：e0.2＞e0.3，则p∧q为假命题；②当x＞1时，f(x)＝x2，g(x)＝12x，h(x)＝x－2的大小关系是h(x)＜g(x)＜f(x)；③若f′(x0)＝0，则f(x)在x＝x0处取得极值；④若不等式2－3x－2x2＞0的解集为P，函数y＝x＋2＋1－2x的定义域为Q，则“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件.解析：对于命题①，因为f(1)＝ln1－2＋1＝－1＜0，f(2)＝ln2－2＋2＝ln2＞0且f(x)在(1,2)上为增函数，故f(x)在(1,2)上有一个零点，即命题p为真；因为y＝ex为增函数，所以e0.2＜e0.3，故命题q为假，所以p∧q为假命题；对于命题②，在同一个坐标系内作出三个函数的图象有：由函数图象可知当x＞1时，有h(x)＜g(x)＜f(x)；对于命题③，令f(x)＝x3，则有f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故该命题错误；对于命题④，由题意得P＝{x|－2＜x＜12}，又由20120xx≥≥得Q＝{x|－2≤x≤12}，所以P⊂Q，所以x∈P是x∈Q的充分不必要条件.答案：①②④6(理)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝12log(1),0,1,13,1,xxxx则方程f(x)＝12的所有解之和为.解析：当x＜0时，函数的解析式是f(x)＝2log(1),(1,0),3,(,1)xxxxx故函数f(x)在x∈R上的图象如图所示，方程f(x)＝12共有五个实根，最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，中间的一个根满足log2(1－x)＝12，即x＝1－2，故所有根的和为1－2.答案：1－三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)(2010·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝12|x|＋2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值.解：(1)g(x)＝12|x|＋2＝(12)|x|＋2，因为|x|≥0，所以0＜(12)|x|≤1，即2＜g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)－g(x)＝0得2x－12|x|－2＝0，当x≤0时，显然不满足方程，即只有x＞0满足2x－12x－2＝0，整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，故2x＝1±2，因为2x＞0，所以2x＝1＋2，即x＝log2(1＋2).718.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值与最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，当x＝1时，f(x)取最小值为1，当x＝－5时，f(x)取最大值为37，所以f(x)的最大值是37；最小值是1.(2)由于函数的对称轴是x＝－a，要使函数在区间[－5,5]上是单调函数，必须且只需满足|a|≥5，故所求的a的取值范围是a≤－5或a≥5.19.(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点.若存在，求出范围，若不存在，说明理由.解：若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可.f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0.得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a＜－15或a＞1.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值.解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；令f′(x)＞0，解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,3).(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2).因为在区间(－1,3)上，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,2)上单调递增.又由于f(x)在(－2，－1)上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，8于是有22＋a＝20，解得a＝－2，故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.21.(本小题