第五章(流体波动)

第五章流体波动流体的波动，是流体微团由于受力的作用，偏离平衡位置，并围绕某个平衡位置产生振动，振动在空间的传播而形成的。波动是流体运动的一种重要形式；尤其是地球物理流体力学和大气动力学中的一种最为重要的流体运动形式。重力水面波大气500hPa等压面高度的扰动第一节波动的基本概念第二节重力表面波和界面波主要内容第一节波动的基本概念一、波动的数学模型一维水面波（微扰动）简介：txhHtxh,,振动—改变周围流体的受力情况—振动传播1,,HHtxhHtxh重力浮力辐散辐合H微扰动扰动高度是一个波动函数正弦波（简谐波）的形式大家熟悉的简谐振动：一维简谐波的形式：其波动解为：0222ydtydtAycostkxAycostxh,扰动高度波动图象：反映了不同质点同一时刻分布图象。21sincos),(tkxAtkxAtxh同样，任何物理量的扰动可表示成波动的形式，即：纵波：流体质点振动方向与传播的方向一致。如声波。横波：振动方向与传播方向垂直(垂直和水平横波)。波动与振动密切相关，在此基础上对波动进行划分：垂直横波：垂直方向振动，水平方向传播，如重力波。水平横波：水平方向振动（南北振动），水平方向传播（东西传播），例如大气长波。波动二、波参数广义上：任何物理量在空间上、时间上的周期变化，均可称为波动，并可以将其表示为波动函数的形式：tkxAycos引入波动的概念之后，如果描述波动？波参数物理参数---波参数表示了什么含义？波动的一般形式。（1）振幅A：质点离平衡位置的最大距离位移。物理量距平衡状态的最大距离。（2）周期T：完成一次全振动所需要时间，或波向前传播一个波长距离所需时间。频率f：单位时间内的振动次数，与周期互为倒数：T=1/ftkxAycos（3）波长L：波动在一个周期中传播的距离，固定时刻相邻的两同位相质点间的距离。LL（4）位相：表示流体波动状态的物理量。等位相面：位相相等的各点所构成的平面（波面或波阵面）。=常数等位相面是平面，称为平面波；等位相面是球面的，称为球面波。tkxtkx等位相面（5）波数k：以相角表示的单位距离内含有波长为L的波的数目。（6）圆频率：以相角表示的单位时间内振动的次数。2T/22LkkLtLxktkx/222波参数是表征波动的重要参数。因此，研究波动主要在于求解各种表征波动的参数及其形成机制。ckdtdx（7）相速c：等位相（波面）的传播速度。相速ctkx=常数三、二维、三维波动上面讨论的波动局限于一维情况，实际上，大多数波动并非是一维的，这涉及到二维、三维波动的问题。)cos(tykxkASyx二维)cos(tzkykxkASzyx三维同样，可以把二维、三维波动表示为如下的形式：其中：位相的普遍形式：),,,(tzyxtzkykxkzyxzkykxktzyx////y方向的波数x方向的波数z方向的波数圆频率垂直等位相面（波面）。（即为波动传播的方向）定义波数矢量为：kkjkikKzyx定义其模称为全波数：zyxkkkKK222xyKxkyk二维为例xyxxkL/2yykL/2波长：KL/2二维为例KL/2定义等位相面：=常数trKkzjyixrtrK)/(dtrdCCKKKKC2/相速度：注意：共线，均为波移动的方向。CK、不满足矢量运算法则。zyxCCC,,zconstyxzyconstzxyxconstzyxkdtdzCkdtdyCkdtdxC/)/(/)/(/)/(,,,,,,kCjCiCCzyx而x，y，z方向上的移速：显然第二节重力表面波和界面波日常生活中，最形象且最直观的波动，就是由于重力作用所产生的水面波动（重力表面波）以及发生于不同性质流体界面的界面波，下面详细地讨论此类波动。重力水面波界面波水空气流体2流体1考虑一维水面波（水渠波）。假设水面平静时水面高度为H（为一常数。一、水面（表面）重力波txhHtxh,,一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态，而要发生起伏不平的变化，水面高度h将随空间位置和时间而变化，即：水面的扰动高度，或者是相对于平静水面的偏差。Hxztxh,txh,可以为正也可以为负，并满足：1,,HHtxhHtxhtxh,也就是认为水面受到扰动后产生的起伏是很小的。流体波动是流体的一种特定的运动形态，应该遵循流体运动所满足的基本方程。不计粘性和旋转效应，不可压缩流体的一维波动水平运动方程为：xpdtdu1垂直方向近似满足静力平衡，流体压力可近似地表示为：进一步有：0),(),,(pztxhgtzxpxhgxp1流体压力梯度力可用自由表面高度的梯度来表示。xztxh,p0z-z自由表面形式的不可压缩流体的连续方程为：0Vhth0VhhVth0xuhxhuth水平运动方程变化为：xhgdtduxhgzuwxuutu0xuhxhuth问题：波动的研究对象是物理变量的扰动部分；方程是非线性的。（方程的线性化问题－－－小扰动线性化方法）描写波动运动的基本方程组小（微）扰动线性化方法：AAA①任何物理量可以表示为：②基本量（平均量）满足原来的方程③扰动量为一小量，其二阶以上项为高阶小量，可以略去。AA基本量（平均量）扰动量xhHgzuwxuutu)(xhgzuwxuutu0xuhxhuthuuuuhHh0)()(xuhHxhHuthtH方程的线性化：（基本态为静止的）xhHgzuwxuutu)(0)()(xuhHxhHuthtH假如考虑上述的水面重力波为微扰动，也就是说与波动有关的量都为微量，二次以上高阶小量可以近似地略去。xuHthxhgtu波动方程：描写水面重力波的闭合方程组。重力浮力辐散辐合HxuHthxhgtu重力波形成机制的讨论：①小扰动，重力作用压力梯度力引起流体运动；②（辐合、辐散）（扰动随时间变化）扰动重力作用辐合、辐散水面波0/xh0/xhg0/xu0/tu0/th2222xhgHthxuHthxhgtu波动方程的求解：为了求解上式，假设波动的形式解为：)(sin),(ctxkAtxh将其代入以上方程，可得：水面重力波的相速公式。gHchgHkhck222同样，为了求得，仍作如下假设：)(sin)(sinctxkAHgctxkBu这就是水面重力波的流速场。不难求得：，于是最后有：)(sinctxkBuAHgBu例5-2-1如图所示，流速为U（常数）的一维均匀水流，表面受到扰动而产生重力表面波：根据水平运动方程及不可压连续方程：采用线性化方法，导出描写流体波动的方程组；求重力表面波的相速度。xpdtdu10xuhxhuth自由表面Uxztxh,HxhHgzuUwxuUuUtuU)()()()()(xhgzuwxuutu0xuhxhuthuUuhHh0)()()()(xuUhHxhHuUthtH解：首先采用线性化方法，求波动方程组xhHgzuUwxuUuUtuU)()()()()(0)()()()(xuUhHxhHuUthtHxhgxuUtuxuHxhUthxhgxuUtuxuHxhUthxhguxUt)(xuHhxUt)(222)(xhgHhxUt消去参数u’222)(xhgHhxUt)(sin),(ctxkAtxhgHUchgHkhcUk222)(求重力表面波的相速度。假设波动的形式解为：基本气流和波动的叠加上面所讨论的水面重力波，确切地将，它是空气和水之间的流体界面波，只是在讨论问题的时候经常不考虑空气而已。假如将以上讨论中的空气用油来代替，而把水表面当作油与水的界面，这样就构成了上轻下重的液体分布情况。此时，如果再来考虑其中的波动问题，就构成了下面讨论的上轻下重的流体间的界面波。二、上轻下重流体间的界面波上轻下重的流体间的界面波:上层流体下层流体1221研究对象根据前面的讨论，对于这样的波动，考虑下层流体作为研究对象，满足如下的方程组：xpdtdu210xuhxhuth关键问题：上层流体的影响--主要是气压梯度项处理流体的静压力只与流体的深度有关。当下层流体表面发生扰动时，水平压力梯度为零，且有：110gzppppBAp0p0ABz1根据流体的静力平衡方程可见，对于不可压流体，将不随高度z变化。0)(,0)(xpzorzpxgzpxp1由于：在下层流体中，气压梯度力项为：gxxhpgxxhppBB22)()(gxxhpgxxhppAA11)()()(1lim1)(1lim1102022ABxABxppxppxxpp0p0AA’A”BB’B”z1xxhx也就是说，在这种情况下，仍然可以采用受扰后的界面坡度来表示流体压力的水平梯度。于是，最终可以将气压梯度力项表示为：xhgxhgxp21212111把气压梯度力项的代入方程，可得流体界面波下层流体的运动方程组：xuHthxhgtu2110xuhxhuthxhgdtdu211线性化当时，方程退化为了重力表面波方程。21在方程中消去，可得界面波方程：2221221xhgHthu设波动的形式解，进行求解：)(sin),(ctxkAtxh21/1gHc最终，可以得到其相速公式为：本章小结§1波动的基本概念(概念、理解）①波动的基本概念；②波动的数学模型。§2重力表面波和界面波(理解、推导）①重力表面波的求解和讨论；（小扰动线性化方法）②界面波的形成原因及其波动方程的求解。