2013年数学高考备考二轮复习 核心考点三 第8课时 三角函数的图象与性质

第8课时三角函数的图象与性质1．(2012年广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α○β＝α·βα·β.若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角θ∈0，π4，且a○b和b○a都在集合n2n∈Z中，则a○b＝()A.12B．1C.32D.52Z答案：C解析：∵a○b＝a·bb·b＝|a||b|cosθ≥cosθ22，b○a＝b·aa·a＝|b||a|cosθ≤cosθ1，且a○b和b○a都在集合n2n∈Z中，∴b○a＝|b||a|cosθ＝12，|b||a|＝12cosθ，∴a○b＝|a||b|cosθ＝2cos2θ2.∵θ∈0，π4，∴1a○b2，故有a○b＝32.故选C.＝4，则sin2θ＝(2．(2012年江西)若tanθ＋1tanθ)1A.5B.14C.13D.12D解析：由tanθ＋1tanθ＝4，得sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝4，即112sin2θ＝4，所以sin2θ＝12.故选D.3．(2012年辽宁)已知sina－cosa＝，a∈(0，p)，则tana＝()AA．－1B．－22C.22D．1解析一：∵sinα－cosα＝2，∴2sinα－π4＝2.∴sinα－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4.∴tanα＝－1.故选A.解析二：∵sinα－cosα＝2，∴(sinα－cosα)2＝2.∴sin2α＝－1.∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)．∴2α＝3π2.∴α＝3π4.∴tanα＝－1.故选A.2对广东的试题而言，2008、2009、2010、2011、2012连续五年关于三角函数的解答题都是考查三角变换及求值．这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，客观题要注意诱导公式、同角关系式及齐次式的应用，解答题要注意三角变换与图象性质的整合、三角变换与解三角形的整合等．三角函数的图象与性质例1：(2012年湖南)函数f(x)＝sinx－cos的值域为()x＋π6A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D.－32，32答案：B【思维点拨】利用三角恒等变换把f(x)化成Asin(ωx＋j)的形式，利用sin(ωx＋j)∈[－1,1]，求得f(x)的值域．解析：f(x)＝sinx－cosx＋π6＝sinx－32cosx＋12sinx＝3sinx－π6.∵sinx－π6∈[－1,1]，∴f(x)的值域为[－3，3]．⇒y＝－8.【配对练习】1．(2011年江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角．sinθ＝－255对边斜边＝y16＋y2255－82．(2011年江苏)函数f(x)＝Asin(wx＋j)(A，w，φ是常数，A0，w0)的部分图象如图1，则f(0)＝________.图162解析：由图，知A＝2，∵T4＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，又2×π3＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－2π3，故f(0)＝2sinkπ－23π＝±62.从图象，知f(0)0，∴f(0)＝62.上为增函数，求ω的最大值．三角变换及三角函数的性质例2：(1)求函数y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间设f(x)＝4cosωx－π6sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω0.－3π2，π233解：(1)f(x)＝432cosωx＋12sinωxsinωx＋cos2ωx＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin2ωx＋1.∵－1≤sin2ωx≤1，∴函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．33(2)∵y＝sinx在每个闭区间2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上为增函数，∴f(x)＝3sin2ωx＋1(ω0)在每个闭区间kπω－π4ω，kπω＋π4ω(k∈Z)上为增函数．依题意，知－3π2，π2⊆kπω－π4ω，kπω＋π4ω对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.为该区【思维点拨】利用三角恒等变换把f(x)化成Asin(ωx＋j)的形式，再求出其单调增区间，根据题意，间的子集．－3π2，π2【配对练习】3．(2012年北京东城一模)已知函数f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin22x.(1)求f(x)的最小正周期；位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈时，求y＝g(x)的最大值和最小值．(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π8个单0，π4解：(1)∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin22x＝sin4x＋cos4x＝2sin4x＋π4，∴函数的最小正周期为T＝2π4＝π2.(2)依题意，有y＝g(x)＝2sin4x－π8＋π4＋1＝2sin4x－π4＋1.∵0≤x≤π4，∴－π4≤4x－π4≤3π4.当4x－π4＝π2，即x＝3π16时，g(x)取最大值2＋1；当4x－π4＝－π4，即x＝0时，g(x)取最小值0.解：三角变换与求值例3：(2012年广东广州一模)已知函数f(x)＝tan(1)求f的值；(2)设的值．3x＋π4.π9α∈π，3π2，若fα3＋π4＝2，求cosα－π4(1)fπ9＝tanπ3＋π4＝tanπ3＋tanπ41－tanπ3tanπ4＝3＋11－3＝－2－3.(2)∵fα3＋π4＝tanα＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tanα＝2，∴sinαcosα＝2，即sinα＝2cosα.①∵sin2α＋cos2α＝1，②由①、②解得cos2α＝15.∵α∈π，3π2，∴cosα＝－55，sinα＝－255.∴cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝－55×22＋－255×22＝－31010.【思维点拨】由tanα＝sinαcosα联立sin2α＋cos2α＝1,解出cosα与sinα的值，然后代入公式cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4即可，注意角的范围．【配对练习】4．(2012年广东广州二模)已知函数f(x)＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0απ2，0βπ2，且fα2＝13，fβ2＝23，求sin(α－β)的值．解：(1)∵f(x)＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＝cos2x－sin2x＝cos2x.∴函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由(1)，得f(x)＝cos2x.∵fα2＝13，fβ2＝23，∴cosα＝13，cosβ＝23.∵0απ2，0βπ2.∴sinα＝1－cos2α＝223，sinβ＝1－cos2β＝53.∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝223×23－13×53＝42－59.1．作为选择题与填空题，高考的热点有：sina，cosa，tana的知一求二、三角函数的伸缩变换及平移变换、通过三角函数部分图象求解析式、求关于sina和cosa的齐次式的值等．2．作为解答题，应注意三个方面的结合：三角变换与三角函数图象性质的结合、三角变换与解三角形的结合、三角变换与平面向量的结合．3．特别提醒：在本节中，最容易出错的是三角函数的符号．