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第18课时空间中角与距离的计算1．(2012年广东)某几何体的三视图如图1，它的体积为()A．12pB．45pC．57pD．81p图1解析：如图D28，该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，答案：C可得V＝V圆锥＋V圆柱＝13×π×32×52－32＋π×32×5＝57π.故选C.图D282．(2012年四川)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：A选项：这两直线可能平行，相交或异面，故A不正确；B选项：这两个平面可能平行或相交，故B不正确；D选项：这两个平面可能平行或相交，故D不正确．故选C.C3．(2011年广东)如图2，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的)体积为(解析：由该几何体的三视图，知该几何体是一个四棱柱，其底面是以3为边长的正方形，该六面体的高为，∴该几何体的体积为.B图2A．63B．93C．123D．18322－1＝332×3＝93从高考命题的特点来看，本专题知识的命题热点主要是以下几个方面：空间角(异面直线所成的角、线面所成的角、二面角)、空间距离(主要求点到面的距离)、平行关系及垂直关系的证明等．空间距离例1：(2012年全国)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()22A．2B.3C.2D．1解析：如图3，连接AC，BD交于点O，连接OE，因为点O，E是中点，所以OE∥AC1，且OE＝AC1，所以AC1∥平面BDE，即直线AC1与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过点C作CF⊥OE于点F，则CF为所求的距离．因为正四棱柱底面AB为2，高为，OE＝2，利用等积法，得CF＝1.故选D.答案：D图31222，所以AC＝22，OC＝2，CE＝2解析：如图D29，设A1C1∩B1D1＝O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥平面AB1D1，交线为AO1.在平面AA1O1内过点B1作B1H⊥AO1于点H，则易知A1H的长【配对练习】1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是()8A.3B.38C.43D.34图D29C即是点A1到平面AB1D1的距离．在Rt△A1O1A中，A1O1＝2，AO1＝32，由A1O1·A1A＝h·AO1，可得A1H＝43.2．(2011年福建)如图4，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，∴EF∥AC.又点E为AD的中点，∴EF为△DAC的中位线．∴EF＝12AC.∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，∴AC＝22，∴EF＝2.图42空间角例2：(2012年新课标)如图5，直三棱柱(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小．ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.图5AC.取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，A1C1＝B1C1⇒C1O⊥A1B1，(1)证明：在Rt△DAC中，由AD＝AC，得∠ADC＝45°.同理∠A1DC1＝45°⇒∠CDC1＝90°，得DC1⊥DC，DC1⊥BD⇒DC1⊥平面BCD⇒DC1⊥BC.(2)解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC⇒BC⊥平面CC1A1⇒BC⊥平面A1B1C1⊥平面A1BD⇒C1O⊥平面A1BD.∵OH⊥BD⇒C1H⊥BD，得点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1－BD－C1的平面角．设AC＝a，则C1O＝2a2，C1D＝2a＝2C1O∴sin∠C1DO＝12⇒∠C1DO＝30°，即二面角A1－BD－C1的大小为30°.【配对练习】3．(2011年辽宁)如图6，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面)ABCD，则下列结论中不正确的是(A．AC⊥SBB．AB∥平面SCD图6C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D空间角与距离的综合运算例3：(2012年广东广州调研测试)如图7，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线折起，使AC=a,得到三棱锥A－BCD.(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD；图7(2)当二面角A－BD－C的大小为120°时，求二面角A－BC－D的正切值．(1)证明：根据题意，在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝2，∴AC2＝AO2＋CO2.∴AO⊥CO.∵AC，BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD.∵BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)解法一：由(1)，知：CO⊥OD，如图8，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则有O(0,0,0)，D(0，2，0)，C(2，0,0)，B(0，－2，0)．图8设A(x0,0，z0)(x00)，则OA→＝(x0,0，z0)，OD→＝(0，2，0)，又设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)．则n·OA→＝0，n·OD→＝0，即x0x1＋z0z1＝0，2y1＝0.∴y1＝0.令x1＝z0，则z1＝－x0，∴n＝(z0,0，－x0)．∵平面BCD的一个法向量为m＝(0,0,1)，且二面角A－BD－C的大小为120°，∴|cos〈m，n〉|＝|cos120°|＝12，得z20＝3x20.∵|OA|＝2，∴x20＋z20＝2，解得x0＝－22，z0＝62，∴A－22，0，62.设平面ABC的法向量为l＝(x2，y2，z2)，∵BA→＝－22，2，62，BC→＝(2，2，0)，则l·BA→＝0，l·BC→＝0，即－22x2＋2y2＋62z2＝0，2x2＋2y2＝0.令x2＝1，则y2＝－1，z2＝3，∴l＝(1，－1，3)．设二面角A－BC－D的平面角为θ，∴cosθ＝|cos〈l，m〉|＝31＋1＋32＝155.∴tanθ＝63.∴二面角A－BC－D的正切值为63.解法二：折叠后，在△ABD中，BD⊥AO.在△BCD中，BD⊥CO.∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝6.如图9，过点A作CO的垂线交CO延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，且CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.图9又CO⊥AH，且CO∩BD＝O，所以AH⊥平面BCD.过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.∵BC⊥AH，AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.∵HK⊂平面AHK，∴BC⊥HK.∴∠AKH为二面角A－BC－D的平面角．在△AOH中，∠AOH＝60°，AO＝2，则AH＝62，OH＝22.∴CH＝CO＋OH＝2＋22＝322.在Rt△CHK中，∠HCK＝45°，∴HK＝CH2＝32.在Rt△AHK中，tan∠AKH＝AHKH＝6232＝63.∴二面角A－BC－D的正切值为63.【思维点拨】本小题主要考查空间的线线关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．当然，本题中存在三条两两垂直的直线，是建立直角空间坐标系的经典模型，希望同学们利用空间向量的方法解答．【配对练习】4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()22A．(0，2)B．(0，3)C．(1，2)D．(1，3)A解析：如图D30，∵BE＝1－222＝1－12＝22，则图D30则BFBE，AB＝2BF2BE＝2.故选A.立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如降维化归思想：化空间问题到平面问题中去解决，又如证线面间的位置关系时，需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算等，这些无不体现着化归转化的思想，因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．以下是解决几何题的常见方法：1．平行关系：关键在于熟练掌握“线线、线面、面面”之间的平行关系的概念、判定定理和性质定理；熟悉各种必要辅助线的作法，如构造中位线、构造平行四边形、遇到比例构造相似、已知线面平行或面面平行要作辅助面等等．2．垂直关系：证明线面垂直的常见方法：(1)证直线与平面内的两条相交直线都垂直；(2)证与该线平行的直线与已知平面垂直；(3)借用面面垂直的性质定理．在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线．解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．