2013年数学高考备考二轮复习 第二部分 第2讲 数形结合思想

第2讲数形结合思想1．(2012年北京)已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝()得B＝{x|x－1或x3}，画出数轴得A∩B＝{x|x3}．故选D.DA．(－∞，－1)B.－1，－23C.－23，3D．(3，＋∞)解析：因为A＝2|3xx，利用二次不等式，2．(2012年山东)函数y＝cos6x2x－2－x的图象大致为()答案：D解析：函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，令y＝0，得cos6x＝0，所以6x＝π2＋kπ，x＝π12＋k6π，函数零点有无穷多个，排除C，且x轴右侧第一个零点为π12，0，又函数y＝2x－2－x为增函数，当0xπ12时，2x－2－x0，cos6x0，所以函数y＝cos6x2x－2－x0，排除B.故选D.上的零点个数为(3．(2012年辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(px)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在)A．5个B．6个C．7个D．8个－12，32解析：因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.所以当x∈[1,2]时，(2－x)∈[0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.当x∈0，12时，g(x)＝xcos(πx)．当x∈12，32时，g(x)＝－xcos(πx)，答案：B注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g12＝g32＝0，作出函数f(x),g(x)的大致图象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间－12，0，0，12，12，1，1，32上各有一个零点，共有6个零点．故选B.x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为(4．(2012年湖南)已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于C，D.记线段AC和BD在)82m＋1(mbaA．162B．82C．84D．44解析：在同一坐标系中作出y＝m，y＝(m＞0)，y＝|log2x|的图象如图D50.82m＋1图D50由|log2x|＝m，得x1＝2－m，x2＝2m，|log2x|＝82m＋1，得x3＝2，x4＝2.821m821m答案：B依照题意，得a＝|2－m－2|，b＝|2m－2|，ba＝|2m－282m＋1||2－m－2－82m＋1|＝2m2＝2.∵m＋82m＋1＝m＋12＋4m＋12－12≥4－12＝312，∴bamin＝82.821m821m8212m8212m821mm821m1．数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．它是数学的规律性与灵活性的有机结合．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”．2．数形结合的思想方法应用广泛，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．运用数形结合思想判断方程的解的个数用函数的图象讨论方程的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想先把方程两边的代数式看作两个熟悉的函数，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程解的个数．例1：已知0a1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为()A．1个C．3个B．2个D．1个或2个或3个解析：判断方程的根的个数就是判断图象y＝a|x|与y＝|logax|的交点个数，画出两个函数图象，如图1，易知两图象只有两个交点，故方程有两个实根．故选B.图1答案：B【配对练习】1．(2011年全国)函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinpx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．8解析：y＝1x－1的对称中心是(1,0)，它也是yDx≤4)的中心，图象在x＝1的左侧有4个交点，则x＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2.故选D.＝2sinpx(－2≤运用数形结合思想讨论函数的性质函数的单调性经常联系函数图象的升、降，奇偶性经常联系函数图象的对称性，最值经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．作出函数的图象，善于利用图象的几何特征，对函数性质的理解往往能收到事半功倍的效果．(a是常数，且a0)．对于下列命题：例2：(2011年安徽淮南一模)已知函数f(x)＝①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a1；④对任意x10，x20，且x1≠x2，恒有f其中正确命题的序号是______________.e－x－2x≤0，2ax－1x0e－x－2x≤0，2ax－1x012，＋∞x1＋x22fx1＋fx22解析：如图2，①正确；图2函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；若f(x)0在12，＋∞上恒成立，则2a×12－10，a1，③正确；由图象，可知：在(－∞，0)上对任意x10，x20，且x1≠x2，恒有fx1＋x22fx1＋fx22成立，④正确．答案：①③④解得【配对练习】2．(2012年广东肇庆二模)直线y＝2与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是()解析：如图D51，在同一直角坐标系内画出直线y＝2与曲线y＝观图可知，a的取值必须满足A.34，1B.1，54C.2，74D.2，94Dx2－x＋a，x≥0，x2＋x＋a，x0，x2－x＋a，x≥0，x2＋x＋a，x0，a2，4a－142，a2，4a－142，2a94.图D51运用数形结合思想解不等式解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化成数量关系来解决不等式的解的问题，往往避免繁琐的运算，获得简洁的解答．例3：设函数f(x)＝若f(x0)1，则x0的取值范围是()A．(－1,1)C.(－∞，－2)∪(0，＋∞)B．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2－x－1，x12，12xx≤0，x0，x≤0，x0，，∴排除选项A，B，C.故选D.答案：D解析：方法一：如图3，在同一直角坐标系中，作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f(x0)1，得x0－1或x01.图3方法二：∵f12＝221，∴12不符合题意．【配对练习】3．(2012年浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝__________.解析：曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为d＝|0＋4|12＋12－2＝22－2＝2，曲线C1：y＝x2＋a对应函数的导数为y＝2x，令2x＝1，得x＝12，所以C1：y＝x2＋a上的点为12，14＋a，点12，14＋a到到直线l：y＝x的距离应为2，所以|12－14－a|12＋12＝2，解得a＝94或a＝－74(舍去)．答案：94运用数形结合思想求最值很多函数、方程都具有明显的几何意义，作出图象求最值更直观．主要题型有直线与圆相切(利用点到直线的位置关系)、点与圆的关系(利用两点间的距离公式)、化折为直(利用对称或圆锥曲线的定义等)．例4：已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是()y＝12x26，172A．8B.192C．10D.212答案：B【思维拓展】此题容易错选为C，在解决抛物线的问题时经常需要把到焦点的距离和到准线的距离互相转化．解析：抛物线x2＝2y的焦点为F0，12，点P到准线的距离为d，则|PA|＋|PM|＝|PA|＋d－12＝|PA|＋|PF|－12，所以当P，A，F三点共线时，最小值为|AF|－12＝192.【配对练习】A．6B．7C．8D．94．P是双曲线x29－y216＝1右支上的一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()D解析：P是双曲线＝1右支上的一点，F1(－5,0)，F2(5,0)x29－y216是两个焦点，则|PF1|－|PF2|＝6，又M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，|MF1|＝2，|NF2|＝1,∴|PM|－|PN|≤|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝9.故选D.