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专题(七)高考概率与统计核心热点解密高三总复习.数学（文）热点一事件与概率、古典概型的计算热点热点二几何概型热点三抽样方法、用样本估计总体热点四统计案例在对新课标内容的考查中，概率与统计主要考查古典概型、几何概型的计算、抽样方法的应用、用样本估计总体、线性回归及独立性检验的应用等．理科还需考查两个计数原理与排列组合、二项式定理的应用、独立事件与独立重复试验、随机变量的分布列、期望与方差的计算等．在实际问题中，通常把概率与统计综合在一起进行考查，并融入新颖的社会背景，考查阅读理解与信息提取及应用能力．热点一事件与概率、古典概型的计算热点一古典概型问题通常与实际问题相结合，考查等可能性事件概率的计算、互斥事件概率的计算，在高考中通常融入较新的背景，难度中等．【例1】给出点M(a，b)，若集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则点M的坐标(a，b)满足A∩B＝B的概率为________．分析由题意可知此题为古典概型，需求出任取两数的基本事件的总数，然后可利用列举法求出此事件含有的基本事件数，再利用古典概型公式求解．热点一事件与概率、古典概型的计算热点一∵A∩B＝B，∴B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．当B＝∅时，Δ＝a2－4b0，满足条件的a，b有a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b有a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1，2}时，满足条件的a，b有a＝3，b＝2.当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.∴概率为83×3＝89.89热点一事件与概率、古典概型的计算热点一【例2】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120热点一事件与概率、古典概型的计算热点一(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；热点一事件与概率、古典概型的计算热点一(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．热点二几何概型热点二计算几何概型主要借助于线段长或圆的弧长、平面图形的面积、几何体的体积之比，因此，对几何概型的考查主要与一些常见的图形相结合，常见于选择或填空题中．【例3】(2015·临沂二模)已知圆C：x2＋y2＝18，直线l：4x＋3y＝25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为________．先求出满足直线l的距离小于2的点所在圆弧的长度，再求出该弧长与圆的周长之比即可得所求概率．分析热点二几何概型热点二圆的半径为OC＝32，圆心到直线的距离d＝5，要使圆C上任一点到直线l的距离小于2，则此时圆心到直线BC的距离为3.此时圆上的点位于弧BC上．因为OE＝3，OC＝32，所以∠OCE＝π4，∠BOC＝π2，BC的长度为332π，所以p＝332π2π×33＝14.14热点二几何概型热点二【例4】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π热点二几何概型热点二选A.如图，连接OD，不妨设OA＝2，∴弓形OCD的面积S0＝14×π×12－12×12＝π－24，由图形的对称性知阴影部分面积为S＝14×π×22－(π×12－2S0)＋2S0＝4S0＝π－2，∴此点取自阴影部分的概率是π－214×π×22＝1－2π.A热点三抽样方法、用样本估计总体热点三对统计知识的考查，重点涉及分层抽样、频率分布直方图、茎叶图、样本估计总体、样本数据的数字特征(平均数、方差等)等几个知识点．虽然这类题的难度不大，但有些细节必须关注，如频率分布直方图中小矩形的面积和为1，频率分布表中的频率和为1等．热点三抽样方法、用样本估计总体热点三【例5】(2015·大连模拟)某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如下茎叶图(单位：cm)：AB915778161245501723454211801119热点三抽样方法、用样本估计总体热点三若树高在175cm以上(包括175cm)定义为“生长良好”，树高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非生长良好”，且只有“生长良好”的才可以出售．(1)对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？热点三抽样方法、用样本估计总体热点三(1)根据茎叶图知，“生长良好”的有8株，“非生长良好”的有12株．用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是520＝14，“生长良好”的有8×14＝2(株)，“非生长良好”的有12×14＝3(株)．设“生长良好”的2株为m1，m2，“非生长良好”的3株为n1，n2，n3，则所有可能的基本事件有：(m1，m2)，(m1，n1)，(m1，n2)，(m1，n3)，(m2，n1)，(m2，n2)，(m2，n3)，(n1，n2)，(n1，n3)，(n2，n3)，共10个，至少有一株“生长良好”的有7个基本事件，所以所求概率为P1＝710.热点三抽样方法、用样本估计总体热点三(2)若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都来自B种树苗的概率．热点三抽样方法、用样本估计总体热点三(2)依题意，一共有8株生长良好，其中A种树苗有5株，分别为A1，A2，A3，A4，A5，B种树苗有3株，分别为B1，B2，B3.所有可能的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，A5)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共28个，所求事件包含的基本事件有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3个，所以所求概率为P2＝328.热点三抽样方法、用样本估计总体热点三【例6】(文科)(2015·长春调研)对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如图所示．热点三抽样方法、用样本估计总体热点三(1)求y0，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取20个元件，元件寿命落在100～300之间的应抽取几个？(1)根据题意：0.001×100＋2y0×100＋0.002×100＋0.004×100＝1，解得y0＝0.0015.设元件寿命落在100～300之间的应抽取x个，根据分层抽样有：x20＝(0.001＋0.0015)×100，解得x＝5.∴元件寿命落在100～300之间的应抽取5个．热点三抽样方法、用样本估计总体热点三(2)从(1)中抽出的寿命落在100～300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在100～200之间，一个元件寿命落在200～300之间”的概率．(2)记“恰好有一个元件寿命落在100～200之间，一个元件寿命落在200～300之间”为事件A，易知，寿命落在100～200之间的元件有2个，分别记为a1，a2，落在200～300之间的元件有3个，分别记为b1，b2，b3，从中任取2个元件，有如下基本事件：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个．热点三抽样方法、用样本估计总体热点三事件A“恰好有一个元件寿命落在100～200之间，一个元件寿命落在200～300之间”有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6个．∴P(A)＝610＝35，∴事件“恰好有一个元件寿命落在100～200之间，一个元件寿命落在200～300之间”的概率为35.热点四统计案例热点四高考主要考查回归分析与独立性检验，所涉及的数据计算不会很繁琐，以选择、填空的形式为主，也可能出解答题．热点四统计案例热点四【例7】(2014·高考辽宁卷)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100热点四统计案例热点四分析(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝n（n11n22－n12n21）2n1＋n2＋n＋1n＋2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762.因为4.7623.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．热点四统计案例热点四(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：K2＝n（n11n22－n12n21）2n1＋n2＋n＋1n＋2，P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．热点四统计案例热点四其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2；bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.