24.3解直角三角形应用举例

解直角三角形应用---测高问题铅垂线俯角仰角水平线视线视线在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方的角叫做仰角。视线在水平线下方的角叫做俯角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。在假期里，同学们约好一起去爬山，他们走进大门后远远望见山顶的C处都觉得它好远好高，能爬上去不容易，出发时大家都充满信心，但是有的同学在爬的过程中由于体力不支，在半山腰B处就停下来，有的同学则克服困难，坚持着爬到山顶C处，例题如果此山的高度为500米，在A处测得C处的仰角为45°，如果要从顶点C处到大门A处建立一条空中索道，那么这条索道需要多少米？请你帮助算一算。如果半山腰B处的垂直距离是200米，A处到垂足E处的距离是200米，那么B处的俯角是多少？3M练习：如图4,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30º,向塔前进12m到达D,在D处测得A的仰角为45º,求塔高.DCBA45°30°12m图4图4解题步骤小结1、首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论。2、找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题。3、合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案。问题1：在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在从离B点21米远的建筑物CD顶端C测得A点的仰角为45°，到B点的俯角为30°，问离B点30米远的保护文物是否在危险区内？（约等于1.732）330°45°BACDE问题2：如图一个摄像仪器架在过街天桥上，检查马路行驶的车辆是否超速，已知摄像仪器A到公路L的垂直距离AD为21米，A到公路点C的俯角为30°，到公路点B的俯角为60°，一辆汽车在公路L上沿CB方向匀速行驶，测得它从点C到点B所用的时间为0.4秒。（1)计算此车从点C到B的速度v为每秒多少米?（结果精确到个位，约等于1.732）L60°30°CDAB3(2)如果此路段限定时速不超过60千米，判断此车是否超速？并说明理由。同学们开动脑筋想一想，还可以涉及到哪些问题？赛一赛：以小组为单位，根据下列条件编写一道有实际意义的问题，看看那一个小组编写有创意，有意义。并且合乎实际情况。条件：一个仰角45°，一个俯角30°。结论可以由自己确定。课后小结：本节课我们用解直角三角形的有关知识解决有关俯角、仰角的实际问题。(1)你怎么理解俯角、仰角？(2)在分析处理这类实际问题时，你应该采取怎样的步骤呢？(3)除了以上知识你还有哪些收获？有哪些不解？谈谈你的看法。解直角三角形应用---坡度问题4530DCBA100m课前练习1：A和B两名测量员站在同一个水平地面上观测悬崖顶。由A测得悬崖顶的仰角是30º，而由B测得悬崖頂顶的仰角是45º，若A、B及崖底D成一直线及A和B相距100m，求悬崖的高度。（精确到0.1米）练习2:从20米高的甲楼顶A处望乙楼顶C处的仰角为30°，望乙楼底D处的俯角为45°，求乙楼的高度。（精确到0.1米）AC水平线DB甲乙20m30°45°建筑物塔ABCD20m30°45°ABCD20m30°45°练习3：由一座建筑物的底部A测得一座塔的顶部D的仰角是30°。由该塔的底部C测得该建筑物的顶部B的仰角是45°。如果塔CD的高度是20m，求(1)A和C之间的距离；(2)该建筑物的高度。新概念：坡度、坡比ABhL如图：坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则tanα=LhiLhiα练习：（1）一段坡面的坡角为60°，则坡度i=_____;（2）已知一段坡面上，铅直高度为，坡面长为，则坡度i＝_______,坡角α＝______。33233033你会算吗？1、坡角α=45°坡比i=3、坡比为i=1∶3，坡角α的余弦值为1∶130°310102、坡比为,坡角α=1:3如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，坡面AB的水平宽度为米，基面AD宽2米，求路基高AE、坡角∠B和基底BC的宽.33C2例1ABDE3F例2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度I’=1∶2.5，求斜坡坝底宽AD和斜坡AB的长．练习1：如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC宽为6m，坝高23m，斜坡AB的坡度ί=1:，斜边CD的坡度为ί’=1:1，求斜坡AB的长，坡角α和坝底AD宽。3ADBCαEF3:1i1:1'i练习2:修建一条铁路要经过一座高山，需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量，西山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点C的俯角为60°，AC的长为60m，如图所示，试求隧道BC的长.ABCi=5：3练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．练习4.(2008山东聊城)如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A．4.5mB．4.6mC．6mD．8m236.25ABC45°练习5：在山脚C处测得山顶A的仰角为45°.问题如下：（1）沿着水平地面向前300m到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60°，求山高AB.（2）沿着坡角为30°的斜坡前进300m到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60°，求山高AB.D60°xx3300m课堂小结:1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．解直角三角形应用---航海问题2009年11月10日方向角北东西南A5828B北偏东58°南偏西28°例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？A北南西东北南西东某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？30º45º8千米ABCD某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？解：练习1：如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明B点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．北东ABCD解：（1）∵AB=36×0.5=18，∠ADB=60°，∠DBC=30°，∴∠ACB=30°．又∵∠CAB=30°，∴BC=AB=18＞16，∴B点在暗礁区域外．（2）过C点作CH⊥AF，垂足为H，在Rt△CBH中，∠BCH=30°，令BH=x，则CH=x，在Rt△ACH中，∠CAH=30°，∴AH=CH，∴18＋x=-x，∴x=9，∴CH=916，∴船继续向东航行有触礁的危险．答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危险．练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400公里处,向西北方向BD移动，距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响？ABD东北45°C练习3：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间（精确到1分）？OA30°60°南东BC北西练习4、一渔船上的渔民在A处看见灯塔在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求此时灯塔M与渔船的距离？练习5:如图，一船在海面C处望见一灯塔A，在它的正北方向2海里处，另一灯塔B在它的北偏西60°的方向，这船向正西方向航行，已知A、B两灯塔的距离为海里，问在这条船的航线上是否存在一点使两个灯塔A、B同时分别在该点的东北、西北方向上？2sqrt(6)练习6已知，如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？练习7已知，如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？1.解直角三角形,就是在直角三角形中,知道除直角外的其他五个元素中的两个(其中至少有一个是边),求出其它元素的过程.2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度或物体的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键就是把实际问题转化为数学问题,结合示意图,运用解直角三角形的知识.3.当遇到30º,45º,60º等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题.4.应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行:⑴寻找直角三角形,若找不到,可构造;⑵找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解,利用题中的数量关系,设x求解.【课堂点睛】: