24.4.3坡度与解直角三角形的应用

24.4.3坡度与解直角三角形的应用坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的________(或坡比)，记作i，即i＝________．坡度一般写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做________，记作α，有i＝hl＝______，坡度越大，坡角α就________，坡面就________．越陡坡度tanαki坡角越大知识点1：坡度和坡角1．(2014·怀化)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝____．2．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶3，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为______.3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为_____．30°75°1∶2知识点2：解有关坡度、坡角的实际问题4．(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3cm，则坡面AB的长度是()A．9mB．6mC．63mD．33mB5．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()A．5cosαB.5cosαC．5sinαD.5sinαB6．如图，斜坡AC的坡度(坡比)为1∶3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．则旗杆BC的高度是____米．7．(2014·巴中)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)6解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BE＝20米，BEAE＝12.5，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝CF·cotD＝203米，∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6(米)．故坝底AD的长度约为90.6米8．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．解：在Rt△ADC中，∵AD∶DC＝1∶2.4，AC＝13，由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4•AD)2＝132，∴AD＝5，∴DC＝12米．在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，∴BD＝1.8•AD＝9米，∴BC＝DC－BD＝12－9＝3(米)．答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米9．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则是斜坡AB的长为()A．43米B．65米C．125米D．24米B10．(2014·上海)如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．2611．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是_____cm.21012．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为52106米，坡度i＝9∶5.为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长；(2)如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？解：(1)∵i＝BEAE＝95，设BE＝9k，AE＝5k(k为正数)，则在Rt△AEB中，∠BEA＝90°，AB＝52106米，AB2＝BE2＋AE2，即(52106)2＝(9k)2＋(5k)2，解得k＝52，∴BE＝9×52＝22.5(米)(2)由(1)得AE＝12.5，设BF＝x，作FH⊥AD于点H，则FHAH＝tan∠FAH，由题意得22.5x＋12.5≤tan45°，即x≥10.所以坡顶B沿BC至少削进10米，才能确保安全13．(2014·遵义)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比)解：过点E作EF⊥BC的延长线于点F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝EFCF＝13＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝CE＝10米，CF＝103米，∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋103)米，在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋103)米，∴AB＝AH＋HB＝(35＋103)米．答：楼房AB的高为(35＋103)米14．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶3.(1)求加固后坝底增加的宽度AF；(结果保留根号)(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？(结果保留根号)解：(1)过点E，D作EM⊥BF于点M，DN⊥BF于点N，则MN＝DE＝2米，EM＝DN＝10米．在Rt△AND中，AN＝DNtan45°＝10米．∵i＝EMFM＝13，∴FM＝103米，∴AF＝FM＋MN－AN＝(103－8)米(2)∵S梯形ADEF＝（DE＋AF）DN2＝503－30，∴(503－30)×600≈(300003－18000)立方米．答：完成这项工程需要土石约(300003－18000)立方米