数据模型与决策第9章-模糊系统

9模糊系统FuzzySystem绪论一、什么是模糊数学二、模糊数学的产生与基本思想三、模糊数学的发展四、为什么研究模糊数学用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。1、什么是模糊系统一个路人问一位智者，要走几小时才能到达某地。智者默不作答，等过路人走了一小段路以后，他才把那人叫回，答以时间……•赞成说话要有根据回答十分精确•反对说话要灵活处理路人又没问精确时间1.1从《伊索寓言》的故事开始“3小时左右”模糊性•日常生活中，早已运用自如•科学分析中，理论却还未完善模糊理论•模糊集，模糊逻辑，模糊数，...历史•20c60s，奠定理论基础L.A.Zadeh,“FuzzySet”,1965.•20c70s，广泛应用于控制领域荷兰，热水站，传统方法难以控制日本，地铁列车自动运转，自来水厂净化处理秃子悖论:天下所有的人都是秃子•设某人头发根数为n，当n=1（即该人头上只有一根头发），显然该人一定是秃子，结论正确；•若某人头发根数n=k时为为秃子；（归纳假设）•那么当n=k+1（即该人头上只比秃子多一根头发），当然该人亦为秃子。结论：天下所有的人都是秃子注意：这个结论是由数学归纳法证明的，那么是归纳法不对还是现实就是如此？1.2从精确到模糊精确•答案确定：要么是，要么不是•f:A→{0,1}•他是学生？他不是学生？模糊•答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间•μA:U→[0,1]•他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线“20岁左右”原集合（年龄）•{....,17,18,19,20,21,22,23,...}“20岁左右”这个模糊集可以表示为：•0.8/18+0.9/19+1/20+0.9/21+0.8/12•0.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23•...隶属度[0,1]集合元素1.3将语言转化为模糊表示“老年”•50岁以下不是老年•70岁以上是老年•年龄越大，被认为是老年的根据越充分0（x-50)x0.051x=5050x70x=70f(x)=考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…查德给出了“年老”集函数刻画:10050))550(1(5000)(12uuuuA10U50100再如，B=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：10025))525(1(2501)(12uuuuB102550UB（u）共同特点：模糊概念的外延不清楚。•术语来源Fuzzy:毛绒绒的，边界不清楚的模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰模糊概念导致模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。2、模糊数学的产生与发展2.1模糊数学的产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一个基本矛盾”，由此促使着模糊数学的产生和发展。“模糊”并非坏事，在有些情况下它比精确更有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，实际上包含了难得模糊的哲理。2.2基本思想用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3等.任何事物的发展都有一个从量变到质变的过程,这个过程用经典数学很难描述,模糊数学的发明完成了这一使命:（1）给数学“禁区”的各门学科，如社会、人文学科等提供新的语言和工具；（2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断，提高自动化水平，使电脑更“聪明”。2.3模糊数学的发展至今，数学的发展已经历三代：（1）第一代数学：经典数学，研究和处理精确的必然现象；（2）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性(随机性)；（3）第三代数学：模糊数学，研究和处理事物的模糊性。它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延伸和发展。FuzzyMaths，专门用来处理和研究模糊性事物的一种新的数学方法。1965年美国加州大学查德(L.A.Zadeh)教授发表《FuzzySets》一文，标志其诞生。2.3模糊数学的发展1975年之前，发展缓慢；1980以后发展迅速；1990-1999FuzzyBoom•杂志种类1978年，Int.J.ofFuzzySetsandSystems每年1卷共340页，99年8卷每卷480页Int.J.ofApproximateReasoningInt.J.FuzzyMathematicsInt.J.Uncertainty,Fuzziness,knowledge-basedSystemsIEEE系列杂志主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种•国际会议IFSA(Int.FuzzySystemsAssociation)EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支•涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；•模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐•国内状况1976年，潘学海，弗齐集合论，计算机应用及应用数学；1980年，汪培庄，模糊数学简介，数学的实践与认识.1981年，模糊数学创刊2.4为什么研究模糊数学•复杂性要求Asthecomplexityofasystemincreases,ourabilitytomakepreciseandyetsignificantstatementsaboutitsbehaviordiminishesuntilathresholdisreachedbeyondwhichthepreciseandsignificancebecomemutuallyexclusivecharacteristics.不相容原理(IncompatibilityPrinciple)•人工智能的要求•取得精确数据不可能或很困难•没有必要获取精确数据结语:模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用。3、模糊子集及其表示方法3.1模糊子集3.2隶属函数3.3模糊子集的表示3.4随机性与模糊性的区别3.5确定隶属函数的主要方法3.6模糊集合的截集普通集合及其特征函数1、集合的基本概念论域，被讨论对象的全体叫做论域，对称全域，通常用大写字母U、E、X、Y等来表示。元素，组成某一集合的单个对象就称为该集合的一个元素，通常用小写字母表示。子集，由同一集合中的部分元素组成一个新集合，称为原集合的一个子集，通常用大写字母表示。集合的表示方法，把集合中的全部元素列出，并用括事情把它们括起来表示集合的全域。2、集合的基本运算并集、交集、差集、补集。3.1模糊子集模糊集合1、模糊集合：无明确边界的集合。2、模糊集合的特点：把原来普通集合对类属、性态的非此即彼的绝对属于或不属于的判定，转化为对类属、性态做从0互1不同程度的相对判定。3.1模糊子集★模糊子集：设给定论域U和一个资格函数把U中间每个元素x和区间[0，1]中的一个数μA(x)结合起来。μA(x)表示x在A中的资格的等级。此处的A我们就说是U的一个模糊子集。3.2隶属函数特征函数在经典集合论中，一个元素x和一个集合A之间的关系只能有xA或者xA这两种情况。集合可以通过其特征函数来刻划，每一个集合A都有一个特征函数A(x)，其定义如下：每一个集合A都有一个特征函数A(x)，其图形如图1所示：图1特征函数A(x)图例设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为140190140)(xxA100200100)(xxA也可用Zadeh表示法：65432118.06.04.02.00xxxxxxA6543219.08.06.042.02.015.0xxxxxxA还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集.从上例可看出：(1)一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的；(2)一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的.隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法.3.2隶属函数隶属函数设给定论域U，U在闭区间[0，1]中的任一映射μA3.2隶属函数模糊数学是将二值逻辑｛0，1｝拓广到可取[0，1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。因此，也必须把特征函数作适当的拓广，这就是隶属函数μ(x)，它满足：0≤μ(x)≤1(2)(1)式也可以记作μ(x)∈[0，1]，一般情形下，其图形如图2所示。图2一般情形下的特征函数图可确定U的一个模糊子集AμA(x)称为A的隶属函数，μA(xi)称为元素xi的隶属度。当μA(xi)＝1时，则xi完全属于模糊集A，当μA(xi)＝0则xi完全不属于模糊集A．3.3模糊子集的表示例1已知论域为实数集R，设A是“比0大得多的所有实数”，A就是论域R上的一个Fuzzy集，且：A：R→[0，1]，x∈R关于A的隶属度为：0x≤0A（x）=1/（1+（100/x2））x0年轻”和“年老”是两个模糊概念，可用Fuzzy集来描述它们。取年龄论城U＝[0，200]，设描述“年轻”和“年老”的这两个Fuzzy集分别为Y和O，年龄u属于Y及O的隶属度分别为：Y(23)＝l，O(80)＝0.99；这意味着23岁属于“年轻”的程度为100％，80岁属年老”的程度为99％．模糊概念用数学语言来说就是模糊集合。模糊集合的基本思想是把经典集合中的绝对隶属关系灵活化，用特征函数的语言来讲就是；元素对“集合”的隶属度不再是局限于取0或1，而是可以取从0到1。的任一数值。模糊数学的几个概念：•映射：在两个集合X、Y之间，如果有一个法则f，使得对X中的每个元素x，在Y中都有唯一元素y与之对应，则称f是X到Y的映射。即：对每个x∈X都存在着唯一确定的元素y＝f(x)∈Y与之对应．3.4随机性与模糊性的区别处理现实对象的数学模型•确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系.•随机性数学模型:对象具有或然性或随机性•模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性.随机性与模糊性的区别•随机性:指事件出现某种结果的机会.•模糊性:指存在于现实中的不分明现象.模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.各种不确定因素可分为两类：1、随机性特征：关于对象在类属和性态方面的定义是完全确定的，但对象出现的条件方面是概率的、不确定的。和必然性相对。2、模糊性特征：表征对象在认识中分辨界限是不确定的，即对象在类属、性态方面的定义是不精确的、不明晰的。和精确性相对。客观事物以事物性态、类属边界为判据数理统计以事物出现的条件为依据模糊数学确定性必然性精确性随机性模糊性不确定性图3随机性与模糊性的关系3.5确定隶属函数的主