数据、模型与决策第八讲层次分析法

数据、模型与决策第八讲层次分析法主讲：邓旭东教授教学内容概述1层次分析法的基本原理2层次分析法的基本步骤3层次分析法的计算4层次分析法应用实例5学习目标掌握层次分析法的基本思路掌握层次分析法的基本原理掌握层次分析法的基本步骤掌握求解正互反矩阵最大特征值及相应特征向量的常用方法：幂法、方根法、和积法掌握判断矩阵的一致性检验步骤并能熟练运用能联系实际，建立系统递阶层次结构模型并构建两两比较判断矩阵，解决一些评估类的问题一、概述层次分析法（analytichierarchyProcess，AHP）是著名运筹学家、美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法，是一种实用的多准则决策方法。其主要特征是，它合理地把定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。层次分析法的基本思路是把复杂问题分解成若干因素，把这些因素按照支配关系分组形成有序的递阶层次结构，并权衡其各个方面的影响，然后综合人的判断，以决定诸因素相对重要性的先后次序。一、概述在管理中，人们常常需要对一些情况作出决策：例如企业的决策者要决定购置哪种设备，上马什么产品；经理要从若干求职者中决定录用哪些人员；地区、部门官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。在日常生活中也常会遇到，在多种类不同特征的商品中选购。报考学校选择志愿。毕业时选择工作岗位等。这一系列的问题，单纯靠构造一个数学模型来求解的方法往往行不通，而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过程进行分析、研究。美国运筹学家，T.L.Saaty等人在九十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（AHP法）。二、层次分析法的基本原理1.测度原理层次分析法的核心是决策模型中因素的测度化。对于复杂系统的决策模型来说，常常采用相对标度进行比较，统一对有形与无形的、可定量与不可定量的因素进行测度。2.递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可通过分解为它的组成部分或因素来解决，即目标、约束准则、子准则、方案等。每一个因素称为元素。按照属性的不同，把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系。具有这种性质的层次称为递阶层次。二、层次分析法的基本原理在建立递阶层次模型时，常常将问题划分为最高层、中间层和最低层。最高层通常只有一个元素，它是问题的预定目标，表示解决问题的目的，因此也是目标层。中间层是为实现总目标而采取的措施和方案，它可以由若干个层次组成，包括所考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。最低层是为实现目标可供选择的各种决策方案，用于解决问题的各种途径和方法，也称为方案层。3.排序原理层次分析法的排序问题是指一组元素两两比较、计算元素相对重要性的测度问题。由于通过两两因素比较得到的判断矩阵不一定满足矩阵的一致性条件，我们希望找到一个数量标准来衡量矩阵不一致的程度。三、层次分析法的基本步骤层次分析法是模仿人们对复杂决策问题的思维、判断过程进行构造的，其基本步骤如下：(1)建立系统的递阶层次结构模型在深入分析所研究的问题后，将问题中所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层和方案层等，并画出层次结构图表示层次的递阶结构和相邻两层因素的从属关系。(2)构造两两比较判断矩阵判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于目标的相对重要性的认识。在相邻的两个层次中，高层次为目标，低层次为因素。三、层次分析法的基本步骤(3)层次单排序及其一致性检验判断矩阵的特征向量经过归一化后即为各因素关于目标的相对重要性的排序权值。利用判断矩阵的最大特征根，可求CI和CR值，当CR＜0.1时，认为层次单排序的结果有满意的一致性；否则，需要调整判断矩阵的各元素的取值。(4)层次总排序及其一致性检验从目标层开始，逐层向下由各个元素的相对权重计算出它们相对于总目标的组合权重，即绝对权重或全局权重。总目标本身的绝对权重为1，其下面每一层元素的相对权重乘以其所针对的上一层准则的绝对权重，既得到该元素的绝对权重。博弈的分类用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类：(1)最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；(2)中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；(3)最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。1.建立层次分析的结构模型决策目标准则1方案1准则m1准则2子准则1方案2子准则2方案mr子准则m2…………………第九章层次分析1.建立层次分析的结构模型博弈的分类注：层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。[例1]某顾客选购电冰箱时，对市场上正在出售的四种电冰箱考虑6项准则作为评价依据，得到如下层次分析模型：1.建立层次分析的结构模型目标层：准则层：方案层：信誉T1A型式T2B价格T3C容量T4D制冷级别T5耗电量T6选购电冰箱第九章层次分析1.建立层次分析的结构模型[例2]选择科研课题：某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？考虑下列因素：成果的贡献大小，对人材培养的作用，课题可行性。在成果贡献方面考察：应用价值及科学意义（理论价值，对某科技领域的推动作用）；在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持情况等）。1.建立层次分析的结构模型目标层合理选择科研课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题D1课题D2课题D3应用价值c1科学意义c2难易程度c3研究周期c4财政支持c5第九章层次分析方案层准则层1.建立层次分析的结构模型[例3]设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（效益/代价）作为选择方案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。1.建立层次分析的结构模型准则层过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3桥梁D1隧道D2渡船D3收入c2岸间商业c3节省时间c1当地商业c4建筑就业c5安全可靠c6交往沟通c7自豪感c8舒适c9进出方便c10美化c11第九章层次分析方案层目标层1.建立层次分析的结构模型过河的代价A经济代价B1社会代价B2环境代价B3桥梁D1投入资金c1操作维护c2冲击渡船业c3冲击生活方式c4交通拥挤c5居民搬迁c6汽车排废物c7对水的污染c8对生态的破坏c9隧道D2渡船D3第九章层次分析目标层准则层方案层1.建立层次分析的结构模型上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素Z（目标A或某个准则Z）相联系的下层元素（x1，x2，…，xn)各在上层元素Z之中所占的比重。方法：每次取2个元素，如xi，xj，以aij表示xi和xj对Z的影响之比。这里得到的A=(aij)n×n称为两两比较的判断矩阵。Saaty建议用1～9及其倒数做为标度来确定aij的值，1～9比例标度的含义：xi比xj强（重要）的程度xi/xj相等稍强强很强绝对强aij1234567891～9标度的理由：两两比较的心理习惯，显然，判断矩阵A的元素有如下特征：1°aij02°aji=1/aij3°aii=1我们称判断矩阵A为正互反矩阵。2、构造判断矩阵例如在例2中，准则层B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判断矩阵：B1：B2为3B1：B3为1认为成果贡献比另二项稍重要，另二项差不多相同重要。判断矩阵B1B2B3B1131A=B21/311/3B31312、构造判断矩阵(1)单一准则下元素排序：求判断矩阵A的最大特征值λmax及标准化（归一化）的特征向量W。W的向量为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权重。有wi0，i，。在构造判断矩阵时，各层元素间两两比较时，aij应有某种传递性质，即若甲比乙重要，乙比丙重要，合理地应有甲比丙更重要，在数值上表示为aij·ajk=aik即若xi与xj相比aij=3，xj与xk相比ajk=2，那么有传递性的判断应xj与xk相比，ajk=6。(2)判断矩阵的一致性概念：判断矩阵是各元素均为正数的矩阵这种正矩阵有下列重要性质。定理⒈设n阶方阵A为正矩阵，λmax为A的最大模特征值，u=（u1，u2，…，un)T为λmax的相应特征向量。ⅰ、λmax0，ui0，i=1，2，…，nⅱ、λmax是单特征根；（因此u除差一常数因子外是唯一的）ⅲ、A的任何其它特征值λ，有λmax|λ|。3.层次单排序及其一致性检验n1ii1w定义：若正互反矩阵A满足aij·ajk=aiki，j，k=1，2，…，n则称A为一致阵。一致阵的重要性质：设A是一致阵，1°A的转置亦是一致阵；∵aij=1/aji，aij=1，i，j=1，2，…n；由定义aij·ajk=aik则显然2°A的每一行均为任意指定的另一行的正数倍，从而A的秩为1。（即只有一个非零特征值，其余n-1个为0特征值）；考虑第ⅰ行元素ai1，ai2，…，ain对于第k行元素ak1，ak2，…，aknj=1，2，…，n，aij=aik·akj即第ⅰ行各元素分别为第k行各元素的aik倍。3°A的最大特征根λmax=n，其余特征根皆为零；4°设u=(u1，u2，…，un)T是A对应λmax的特征向量，则aij=ui/uji，j=1,2,…,n容易验证：对于n及向量u=(u1，u2，…，un)T若aij=ui/ujij则Au=nu(i，)又由定理1及性质2°可知λmax=n，u满足4°3.层次单排序及其一致性检验injijnjijnuuua115°若A为判断矩阵，那么A对应于λmax=n的标准化（归一化）特征向量u=(u1，u2，…，un)T就是一组排序权向量。（归一化）由性质4°即知。进一步地有如下定理定理2、n阶正互反矩阵A=（aij)n×n是一致阵的充分必要条件为λmax=nProof:“必要性”即是上面性质3°已证“充分性”设A的最大特征值为λmax，相应特征向量u=(u1，…，un)TAu=λmaxu分量形式：对i=1，2，…，n由定理1知ui0，于是λmax=注意aij=1，λmax-1=aijuj/ui3.层次单排序及其一致性检验nii1u1n1jimaxjijuuanij1jijijuua/求和（把i=1，…，n的各式相加）：nλmax-n=aijuj/ui注意aji=1/aij整理上式得：nλmax-n=(aijuj/ui+1/aijuj/ui)……(*)(*)式末端=n2-n=n(n-1)注意：当x0时x+(1/x)≥2当且仅当x=1时等号成立。于是：aij(uj/ui)+(1/aij)(uj/ui)≥2(*)式右端≥·2=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=n(n-1)=左端当且仅当aij(uj/ui)=1时等号成立3.层次单排序及其一致性检验nij1jn1inijn1i1111n1inij∴aij(uj/ui)即aijajk=(ui/uj)·(uj/uk)=uj/uk=ajk故A是一致阵。由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性，我们得到的判断矩阵常常不具