4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编

1.极坐标及参数方程知识点1．伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0(,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标，记为),(M.极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(.4.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；在极坐标系中，以)0,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是cos2a；在极坐标系中，以)2,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a；7.在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是acos.8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9．圆222)()(rbyax的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数rbyrax.椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数byax.抛物线pxy22的参数方程可表示为)(.2,22为参数tptyptx.经过点),(ooOyxM，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为.sin,cosootyytxx（t为参数）.)0(nt,sin,cos,222xxyayxyx10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.坐标系与参数方程选讲1．（坐标系与参数方程选做题）设点A的极坐标为2,6，直线l过点A且与极轴所成的角为3，则直线l的极坐标．．．方程为．2．sin13或cos16或4sin13或3cossin203．（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为4cos和8sin的两个圆的圆心距为52．解析：ρ=4ρ2=4x∴x2+y2=4x∴(x-2)2+y2=4同理：x2+(y+4)2=164．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：2,14xtyt（t为参数），圆C的极坐标方程为22sin，则直线l与圆C的位置关系为相交.5．圆C：xy1cossin，，（为参数）的普通方程为xy1122)，设O为坐标原点，点00()Mxy，在C上运动，点()Pxy，是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为22(21)41xy．6.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2上的点到直线6sin3cos的距离的最小值是1.解析：圆2可化为224xy，直线6sin3cos化为360xy，圆心到直线的距离0063213d，最短距离为3217．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是2cos1ρx8．(坐标系与参数方程选做题)曲线2sin(sinxy为参数)与直线ya有两个公共点，则实数a的取值范围是_(0,1]_.解析：由参数方程得标准方程为y=x2∵x=sinθ∴-1x19.(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为22)4sin(，则点A)47,2(到这条直线的距离为____22____10．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)3M到直线2:sin()42l的距离为62.11.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos(0)sinxy≤＜和25()4xttRyt，它们的交点坐标为.[来源:Zxxk.Com]22242225cos(0):1(01,5),5sin55425,10,,(0),41655554251,(1,).4455xxyyxyxtytttttytxt解析:将≤＜化为普通方程得将代入得:解得交点坐标为12．已知抛物线C的参数方程为28,8.xtyt（t为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆2224(0)xyrr相切，则r=_2_.13.自极点O向直线l作垂线，垂足是H(3,2()，则直线l的极坐标方程为2)3(cos。14.(坐标系与参数方程选做题)圆的半径为1，圆心的极坐标为（1,0），则圆的极坐标方程是__ρ=2cosθ_。