高中数学必修5自主学习导学案：1.1.1-正弦定理正式版

§1.1.1正弦定理（教师版）1．新课引入我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边．角关系准确量化的表示呢？思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系如何？在RTABC中，sin,sinacAbcB，sinsinabcAB，sin1C，sinsinsinabcABC思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？（1）若三角形是锐角三角形分析：过点C作CD⊥AB于D,此时有sinCDAb，sinCDBa，所以CD=asinB=bsinA,即sinsinabAB，同理可得sinsinbcBC，sinsinsinabcABC（2）若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?2．正弦定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等．即sinsinsinabcABC．证明：（外接圆法）作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,90BAC，CC，sinsin2cCCR，2sincRC，同理2sinaRA，2sinbRB，2sinsinsinabcRABC3．对正弦定理的理解（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，该正数为2R，（2）正弦定理的基本作用为：①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.②已知两角和一边，求其他角和边.（3）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．4．正弦定理的常见公式变形(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)ab＝sinAsinB，ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC；(3)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC；(4)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(5)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(6)AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB.5．三角形的面积公式：1111sinsinsin2222ABCSahabCacBbcA．证明：过点C作CD⊥AB于D，此时有sinCDbA，11sin22ABCScCDbcA，同理可得111sinsinsin222ABCSabCacBbcA．※典型例题考点1：已知两角和任意边，求其他两边和一角（唯一解）【例1】在ABC中，已知45A，60B，2a，解三角形．分析：可先由A＋B＋C＝180°求出角C，再用正弦定理求出b和c.解：由题意，18075CAB，由正弦定理sinsinsinabcABC，得2sin45sin60sin75bc，解得：6b，13c．变式1．（1）在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求b.（2）在ABC中，已知45B，60C，12acm，解三角形．解析：（1）∵A＋B＋C＝180°，∴C＝180°－45°－30°＝105°，∴sinC＝sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝6＋24.∵bsinB＝csinC，∴b＝csinBsinC＝10sin30°sin105°＝10×12sin75°＝5×46＋2＝5(6－2)．（2）由题意，18075ABC，由正弦定理sinsinsinabcABC，得12sin75sin45sin60bc，解得：12312b，36123c．考点2：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角（解的情况：无解、一解、两解）【例2】在△ABC中，45A，6c，2a，求b，B和C．解答：∵△ABC中，45A，6c，2a，∴利用正弦定理可得：62sinsin45C，∴3sin2C∵C∈(0,π)，∴120C或60当120C时，15B，∵2sin45sin15b，31b；当60C时，75B，∵2sin45sin75b，31b．变式2．（1）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于90．（2）在3,60,1,,ABCbBcaAC中，求和．解答：∵△ABC中，60B，3b，1c，∴利用正弦定理可得：31sin60sinC，∴1sin2C．∵C∈(0,π)，bc，∴30C，∴180306090A，2a．变式3．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝30°，解这个三角形．分析：本题考查正弦定理，已知两边和其中一边的对角，求另外的边和角，可利用正弦定理结合三角形内角和定理解决．解析：由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝2sin30°2＝22.∵ab，∴BA＝30°，∴B为锐角或钝角，∴B＝45°或B＝135°.(1)当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°.∵csinC＝asinA，∴c＝asinCsinA＝2sin105°sin30°＝2×6＋2412＝3＋1.(2)当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°.∴c＝asinCsinA＝2sin15°sin30°＝2×6－2412＝3－1.综上可得B＝45°，C＝105°，c＝3＋1或B＝135°，C＝15°，c＝3－1.考点3．讨论三角形解的个数已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，要注意根据两边和其中一边的对角之间的关系对三角形解的个数进行判断，可能有一解、两解或无解，否则可能导致错误．在△ABC中，已知a，b，A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与除去顶点A的射线AB交点的个数即为三角形解的个数，其解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系absinAa＝bsinAbsinAaba≥ba≤bab解的个数012101【例3】在△ABC中，分别根据下列条件指出解的个数．(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝60°；(3)a＝3，b＝2，B＝120°；(4)a＝3，b＝6，A＝60°.解析：(1)∵ab，bsinA＝524＝a，∴bsinAab，∴有两解．(2)∵ab，A90°，∴BA90°，∴有一解．(3)∵B90°，ab，∴无解．(4)ab，bsinA＝6×32＝322，∵absinA，∴无解．变式4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，A＝30°，b＝x(x0)，判断此三角形解的个数．解析：由于b是不确定的边长，无法知道a与b的大小关系，即无法判断B是锐角还是钝角，这就需要对x的取值进行分类讨论．解法一：当0x≤4时，由大边对大角知B为锐角，sinB＝xsinAa≤12，此时三角形有唯一解．当4x8时，sinB＝xsinAa，∴12sinB1，B不一定为锐角，∴B有两种结果，此时△ABC有两解．当x＝8时，sinB＝1，则B＝90°，此时△ABC有一解．当x8时，sinB＝xsinAa1，B无解，此时△ABC无解．综上可知：当0x≤4或x＝8时，△ABC有一解；当4x8时，△ABC有两解；当x8时，△ABC无解．解法二：A＝30°，是锐角，分三种情况：①当a＝bsinA或a≥b，即4＝xsin30°或4≥x，即x＝8或0x≤4时，三角形有一解．②当xsin30°4x，即4x8时，三角形有两解．③当4xsin30°，即x8时，三角形无解．综上可知，当0x≤4或x＝8时，△ABC有一解；当4x8时，△ABC有两解；当x8时，△ABC无解.考点4．正弦定理性质的应用例4．在ABC中，已知5,3ab，sin:sinAB的值是（A）A．53B．35C．37D．57解析：由asinA＝bsinB，∴sin5sin3AaBb，选A．例5．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形解析：由acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0，∴A＝B，即为等腰三角形．答案：A变式5．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝()A．4∶1∶1B．2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1解析：∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1.故选D.变式6．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（D）A．006030或B．006045或C．0060120或D．0015030或变式7．在ABC中，一定成立的等式是（C）．A．sinsinaAbBB.coscosaAbBC.sinsinaBbAD.coscosaBbA变式8.在ABC中，若coscosaAbB，试判断ABC的形状.【解析】等腰三角形或直角三角形※当堂检测1．已知ABC中，A60，3a，则sinsinsinabcABC=2．2．在ABC中，若5,22abAB，则5cos_________4B3．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（C）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶3D．2∶2∶34．在△ABC中，若sinsinAB，则A与B的大小关系为（A）.A.ABB.ABC.A≥BD.A．B的大小关系不能确定5．在ABC中，若coscosAbBa，则ABC是（B）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形6．在△ABC中，若CcBbAacoscoscos，则△ABC是等边三角形7.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．解：∠C＝180°－30°－120=30°，由正弦定理sinsinsinBCACABABC，解得BC＝6，63AC.考点5．三角形面积公式的应用【例6】在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝83，求△ABC的面积．解析：由asinA＝bsinB，得sinB＝basinA，∴sinB＝838·sin30°＝32.又∵83·sin30°883，即bsinAab，∴三角形的解有两种情况．∵sinB＝32，∴B＝60°或120°，∴C＝90°或30°.∴S△ABC＝12ab·sinC＝12×8×83×sin90°＝323或S△ABC＝12×8×83×sin30°＝163，∴△ABC的面积为323或163.练习1．在△ABC中，已知b=1，c=3，A=600，则S△ABC=334。2．在△ABC中，AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，则cos∠ABC等于(B)A.35B．±35C．－35D．±25解析：由S＝12AB·BC·sin∠ABC，得4＝12×2×5×sin∠ABC，∴sin∠ABC＝45，从而cos∠ABC＝±35.答案：B【例7】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA＝3，cosC＝55.(1)求角B的大小．(2)若c＝4，求△ABC的面积．解析：(1)∵cosC＝55，∴sinC＝255，tanC＝2.又∵tanB＝－tan(A＋C)＝－tanA＋tanC1－tanAtanC＝－3＋21－3×2＝1，且0Bπ，∴B＝π4.(2)由正弦定理bsinB＝csinC，得b＝csinBsinC＝4×22255＝10，由sinA＝sin(B＋C)＝sinπ4＋C，得sinA＝31010，∴△ABC的面积S△ABC＝12bcsinA＝6.1．在ABC中，下列等式总能成立的是（D）A．AcCacoscosB．AcCbsinsinC．BbcCabsinsinD．AcCasinsi