指数、对数及幂函数习题

中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-1-指数函数、对数函数及幂函数Ⅰ.指数与指数函数1.指数运算法则：（1）rsrsaaa；（2）srrsaa；（3）rrrabab；（4）mnmnaa；（5）1mnnmaa（6）,||,nnanaan奇偶2.指数函数：【基础过关】类型一：指数运算的计算题指数函数0a1a1图象表达式xya定义域R值域(0,)过定点(0,1)单调性单调递减单调递增中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-2-此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便1、526的平方根是______________________2、已知2na，16mna，则m的值为………………………………………………()A．3B．4C．3aD．6a3、化简221()2babaabbba的结果是………………………………()A、aabB、abaC、baaD、2bbaa4、已知0.001a，求：41333223338(12)24aabbaaabb=_________________5、已知13xx，求（1）1122xx=________________（2）3322xx=_________________6、若22yyxx，其中1,0xy，则yyxx______________类型二：指数函数的定义域、表达式指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质函数)(xfay的定义域与)(xf的定义域相同1、若集合A={113xxy},B={21},xsxAB则____________________2、如果函数()yfx的定义域是[1,2],那么函数1(2)xyf的定义域是________3、下列函数式中，满足f(x+1)=12f(x)的是……………………………………………()中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-3-A、112xB、14xC、2xD、2x4、若62344112aaa，则实数a的取值范围是………………………………()A、2aB、12aC、12aD、任意实数类型三：复合函数○1形如02cabaxx的方程，换元法求解○2函数)(xfay的定义域与)(xf的定义域相同○3先确定)(xf的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定)(xfay的值域涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数1、求函数2391xxy的值域2、当10x时，函数2234xxy的最大值是______________，最小值是__________3、已知x[-3,2]，求f(x)=11142xx的最大值是______________，最小值是______________（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数1、函数y=(13)2281xx(-31x)的值域是______________，单调递增区间是__________2、已知函数y=(13)225xx，求其单调区间_____________________及值域_______________类型四：奇偶性的判定利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-4-1、函数xxaaxf2)1()(是……………………………………………()A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数2、已知函数f(x)=1(1)1xxaaa(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R上的增函数。3、设aR,f(x)=22()21xxaaxR，试确定a的值，使f(x)为奇函数类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用1、已知0a，且1a，解不等式265xxaa2、已知f(x)=2231xxa,g(x)=225xxa(a＞0且a≠1),确定x的取值范围,1x使得f(x)＞g(x).中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-5-Ⅱ.对数与对数函数1、对数的运算：1、互化：NbNaablog2、恒等：NaNalog3、换底：abbccalogloglog推论1abbalog1log推论2logloglogababcc推论3loglogmnaanbbm)0(m4、NMMNaaaloglogloglogloglogaaaMMNN5、MnManaloglog2对数函数：【基础过关】类型一：对数的基本运算此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意○1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为Nlg○2自然对数：以e=2.71828…为底的对数叫自然对数，记为Nln对数函数0a1a1图象表达式logayx定义域(0,)值域R过定点(1，0)单调性单调递减单调递增中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-6-○3零和负数没有对数，且1log,01logaaa1、(1)、9lg2lg008.0lg3181.0lg212(2)、20lg5lg2lg2(3)、)2log2(log)5log5(log3log3log25593842、已知2logxa,3logxb,6logxc求xabclog的值．类型二：指数，对数的混合运算指数函数)1,0(aaayx与对数函数)1,0(logaaxya的图象与性质中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-7-x=1x=1y=1y=1在(0,+)内是减函数在(0,+)内是增函数在(-,+)内是减函数在(-,+)内是增函数0x1时,y0;x1时，y0.0x1时,y0;x1时，y0.x0时,0y1;x0时，y1.x0时，y1;x0时，0y1.(1,0)，即x=1时，y=0.(0,1)，即x=0时，y=1.(0,+)(0,+)(-,+)(-,+)单调性y值区域过定点值域定义域图象a10a1a10a1ay=logaxy=ax函数11OOOO1axy1axy1axy1axy1、若log2,log3,aamn则32mna_________2、若1a且01b，则不等式log(3)1bxa的解集为________3、已知35,abA且112ab，则A的值是________4、已知32a，那么33log82log6用a表示是…………………………()A、2aB、52aC、23(1)aaD、23aa【能力提升】类型三：对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如)(xgfy的复合函数可分解为基本初等函数)(),(xguufy，分别确定这两个函数的定义域。1、函数121log(2)yx的定义域是____________2、已知235(log())22xfx，则(0)f=___________中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-8-3、已知62()logfxx，那么(8)f=____________类型四：对数函数的值域注意复合函数的值域的求法，形如)(xgfy的复合函数可分解为基本初等函数)(),(xguufy，分别确定这两个函数的定义域和值域。1.函数212log(617)yxx的值域是________2.设1a，函数()logafxx在区间[,2]aa上的最大值与最小值之差为12，则a=___________3.函数()log(1)xafxax在[0,1]上最大值和最小值之和为a，则a的值为_______________类型五：对数函数的单调性、奇偶性1、函数lgyx的单调递增区间是_______;函数212log(32)yxx的递增区间是_______________2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………()A.12log(1)yxB.22log1yxC.31logyxD.213log(43)yxx3、函数2lg11yx的图像关于………………………………………………………()A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线yx对称4、函数2()lg1fxxx是（奇、偶）函数。5、已知函数1010()1010xxxxfx，判断()fx的奇偶性和单调性。中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-9-类型六：对数中的不等关系比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小1、设0.724log0.8log0.9log5abc，则,,abc的大小关系是_______2、设2lg,(lg),lg,aebece则,,abc的大小关系是_______3、如果3log15m，那么m的取值范围是______4、如果log3log30ab，那么,ab的关系是…………………………………………()A.01abB.1abC.01baD.1ba5、已知2log(1)log(24)0aaxx，则不等式解集为_______6、若()logafxx在[2,)上恒有()1fx，则实数a的取值范围是________类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）1、设2()lg()1fxax是奇函数，则使()0fx的x的取值范围是________2、已知集合2log2,(,)AxxBa，若AB则实数a的取值范围是(,)c，其中c=______.3、若1x满足2x+2x=5,2x满足2x+2)1(log2x=5,1x+2x＝………………………()A.52B.3C.72D.4幂函数一、幂函数图象的作法：根据幂函数kxy的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为mnxy或mnxy（m、Nn，2m，m、n互质）的形式，先化为mnxy，或mnxy1的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-10-单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象.二、幂函数图象的类型：（共有11种情况）k0mnk10mnk1mnk奇函数m、n都是奇数y=x-13-11yxoy=x35-11yxoy=x53-11yxo偶函数m是奇数，n是偶数y=x-23-11yxoy=x23-11yxoy=x43-11yxo非奇非偶函数m是偶数，n是奇数y=x-12-11yxoy=x12-11yxoy=x32-11yxo三、幂函数图象特征：（1）当0k时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；中科教育2010年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！-11-y=xy=xo(x0)o-11yxo（2）当0k时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；（3）当10k时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；（4）当1k时，图象是一、三象限的角平分线；（5）当1k时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线.（6）幂函数图象不经过第四象限；（7）当0k时，幂函数kxy的图象一定经过点（0，0）和点（1，1）（8）如果幂函数kxy的图象与坐标轴没有交点，则0k；（9）如果幂函数mnpxy)1(（m、n、p都是正整数，且m、n互质）的图象不经过第三象限，则