1.2解三角形的应用举例

1.2.1应用举例基础知识复习1、正弦定理2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC2sinsinsin()abcRABCR其中为外接圆的半径3、实际问题中的有关概念及常用术语(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．练习1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案：B(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．练习2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°答案：B解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.(4)坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h与水平宽度b之比即i＝hb＝tanα(其中α为坡角)叫做坡比(如图)．(5)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图)．练习3．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是。ACB60°75°答：65海里解：应用正弦定理，C=45°BC/sin60°=10/sin45°BC=10sin60°/sin45°:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.(2)测量高度..)3(测量角度:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.例1.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得CA,CB,∠ACB,又测得A,B两点到隧道口的距离AD,BE。(A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长ABCDE由余弦定理可解AB长。进而求DE。解略。析：1.测量不可到达且不可视的两点间的距离想一想：如何测定河两岸两点A、B间的距离？AB2.测量不可到达两点间的距离想一想：如何测定河两岸两点A、B间的距离？ABαβC想一想：如何测定河两岸两点A、B间的距离？ABαβCABαβCa简解：由正弦定理可得asinsinsin()ABBCaAAB＝可求出例3、如何测定河对岸两点A、B间的距离？如图在河这边取一点，构造三角形ABC，能否求出AB?为什么？？ABC例3、为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定公里长的基线CD，并测得∠ACB=75o，∠BCD=45o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.ABCD3ABCD略解：△ACD中，利用正弦定理可求得AD=3，△BCD中，利用正弦定理可求BD=。由余弦定理在△ABD中可求AB=。25ooooACD90BCD60BDC75ADC303，，，，CD=[例](2010·陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？[答案]由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．答：该救援船到达D点需要1小时．1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(2)测量高度.测量垂直高度1、底部可以到达的测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。..,.3的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部例ABABAB图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想BEAGHDC2、底部不能到达的例3AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。我们可以测量出的量有哪些呢？BEAGHDC我们可以测出测出由点C观察A的仰角，由点D观察A的仰角，CD的长a，测角仪器的高是h。)sin(sinaACsinsinsinsin()sinsinsin()aAEACaABAEhh解：在ACD中，根据正弦定理可得例3.AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法BEAGHDC在直角ACE中，可得:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在.)3(测量角度[例3]如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．[解析]如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.由题中所给数据可得，DF＝MF2＋MD2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22×DE×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.[例](2010·陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？[答案]由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．答：该救援船到达D点需要1小时．总结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明DCBA1.三角形中线问题例：△ABC中，D是BC的中点点，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，求中线AD的长2.三角形角平分线问题例（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．