高一数学必修五第一章测评

1第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.在△ABC中,若A=60°,BC=4√,AC=4√,则角B的大小为()A.30°B.45°C.135°D.45°或135°2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为()A.√B.√C.√D.2√3.在△ABC中,若其面积为S,且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2√S,则角A的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°4.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A,C的距离是50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为()A.50√mB.50√mC.25√mD.√m5.在△ABC中,cos2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6.某海轮以30nmile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60°方向,向北航行40min后到达点B,测得油井P在南偏东30°方向,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达点C,则P,C间的距离为()A.20nmileB.20√nmileC.30nmileD.30√nmile7.在△ABC中,B=,边BC上的高等于BC,则cosA=()A.√B.√C.-√D.-√8.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为()A.4√B.5C.5√D.6√9.如图,在△ABC中,B=45°,D是边BC上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为()A.√B.5C.√D.5√10.在△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且满足a2+b2=2c2.如果c=2,那么△ABC的面积等于()A.tanAB.tanBC.tanCD.以上都不对11.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边.设B=2A,则的取值范围是()A.(√,2)B.(0,2)C.(√,2)D.(√√)212.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=√,C=,则△ABC的面积是()A.√B.√C.√D.√或√二、填空题(每小题5分,共20分)13.在△ABC中,若a=√b,A=120°,则B=.14.在△ABC中,a=14,A=60°,b∶c=8∶5,则该三角形的面积为.15.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5km,BC=8km,CD=3km,DA=5km,如图所示,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为km.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,a=√,则b2+c2的取值范围是.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=2,若cosB=,且△ABC的周长为5,求边b的长.18.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinA=3asinC,cosA=.(1)若b=3,求a的值;(2)若△ABC的面积S=√,求sinB的值.319.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2=ac,且cosB=.(1)求的值;(2)设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,求a+c的值.21.(本小题满分12分)在海港A正东39nmile处有一小岛B,现甲船从A港出发以15nmile/h的速度驶向B岛,同时乙船以6nmile/h的速度向北偏西30°的方向驶离B岛,不久之后,丙船则向正东方向从B岛驶出,当甲、乙两船相距最近时,在乙船观测发现丙船在乙船南偏东60°方向,问此时甲、丙两船相距多远?422.(本小题满分12分)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足btanA=(2c-b)tanB.(1)求角A的度数;(2)若a=2√,求b-2c的取值范围.参考答案：1.解析由正弦定理,得,则sinB=√°√√.因为BCAC,所以AB,而A=60°,所以B=45°.答案B2.解析将c2=a2+b2-2abcosC与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S△ABC=absinC=√.答案C3.解析因为S=AB·AC·sinA,而⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB·AC·cosA,所以AB·AC·cosA=2√AB·AC·sinA,所以tanA=√,故A=30°.答案A4.解析在△ABC中,∠ABC=180°-45°-105°=30°.由正弦定理,得,即°°,解得AB=50√m.答案A5.解析∵cos2,∴,∴cosB=,∴-,∴a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.故选B.答案B6.解析如图,在△ABP中,AB=30×=20,∠APB=30°,∠BAP=120°.根据正弦定理,得,即√,解得BP=20√.在△BPC中,BC=30×=40,由已知得∠PBC=90°,所以PC=√√√=20√,即P,C间的距离为20√nmile.5答案B7.解析设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意,得a=csin√c,则a=√c.在△ABC中,由余弦定理,得b2=a2+c2-√ac=c2+c2-3c2=c2,则b=√c.由余弦定理,得cosA=--√=-√,故选C.答案C8解析∵S△ABC=acsinB,∴c=4√.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=25,则b=5.由正弦定理,得2R==5√(R为△ABC外接圆的半径).答案C9.解析在△ADC中,由余弦定理,得cos∠ADC=--=-,所以∠ADC=120°,所以∠ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=√√√.答案C10.解析由已知,得a2+b2=8.由余弦定理,得cosC=-,所以△ABC的面积S=absinC=·sinC=tanC.答案C11.解析由正弦定理,得=2cosA.∵△ABC是锐角三角形,∴{°°∴30°A45°,∴=2cosA∈(√√).答案D12.解析∵sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,sin(B-A)=sinBcosA-cosBsinA,sin2A=2sinAcosA,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,∴2sinBcosA=6sinAcosA.当cosA=0时,A=,B=.又c=√,所以b=√.由三角形的面积公式,得S=bc=√;当cosA≠0时,由2sinBcosA=6sinAcosA,得sinB=3sinA.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cosC=--=cos,解得a=1,b=3,所以此时△ABC的面积为S=absinC=√.综上可得△ABC的面积为√或√,故选D.答案D13.解析由正弦定理,得sinB=√√.又AB,所以B=30°.答案30°14.解析设另两边长分别为8x和5x,则cos60°=-,解得x=2,则b=16,c=10.故S△ABC=bcsinA=×16×10sin60°=40√.答案40√615.解析因为A,B,C,D四点共圆,所以B+D=π.由余弦定理,得AC2=52+32-2×5×3cosD=34-30cosD,AC2=52+82-2×5×8cosB=89-80cosB.由于B+D=π,即cosB=-cosD,因此---,解得AC=7.答案716.解析由正弦定理=2,得b=2sinB,c=2sinC,则b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos2B+1-cos2C)=4-2cos2B-2cos2C=4-2cos[(B+C)+(B-C)]-2cos[(B+C)-(B-C)]=4-4cos(B+C)cos(B-C)=4+4cosAcos(-)=4+2cos(-).又0B,则-2B-,即-12cos(-)≤2,所以34+2cos(-)≤6,即b2+c2的取值范围是(3,6].答案(3,6]17.解因为=2,所以=2,即c=2a.又因为△ABC的周长为5,所以b=5-3a.由余弦定理,得b2=c2+a2-2accosB,即(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2×,解得a=1,所以b=2.18解(1)利用正弦定理化简bsinA=3asinC,得ab=3ac.∵a≠0,∴b=3c.把b=3代入得c=1.由余弦定理,得cosA=--,解得a=√.(2)∵cosA=,∴sinA=√-()√.由S△ABC=bc·sinA=·3c2·√√,得c=√,∴b=3√.由a2=b2+c2-2bccosA=18+2-2×3√√=12,解得a=2√.由,得sinB=sinA=√√√√.19(1)证明根据正弦定理,可设=k(k0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入中,有,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cosA=-.所以sinA=√-.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,故tanB==4.20.解(1)由cosB=,得sinB=√-()√.由b2=ac及正弦定理,得sin2B=sinAsinC.于是√.(2)由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,得accosB=.由cosB=,得ac=2,即b2=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,7得a2+c2=b2+2accosB=5,∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,∴a+c=3.21解设在行驶th后,甲船到达C处,乙船到达D处,丙船到达E处,此时甲、乙两船相距最近,由题意,得CD2=CB2+BD2-2CB·BD·cos60°=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1404t+1521=351(t-2)2+117,所以当t=2时,CD2最小,即CD取得最小值,也即此时甲、乙两船相距最近,过点D作DF⊥AB,则∠BDF=30°,∠DBE=120°,所以∠BDE=30°,∠DEB=180°-120°-30°=30°,故△BDE为等腰三角形.所以BE=BD=6t=6×2=12(nmile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-15×2=21(nmile).答:甲、乙两船相距最近时,甲、丙两船相距21nmile.22.解(1)根据正弦定理,由btanA=(2c-b)tanB,得sinBtanA=(2sinC-sinB)tanB,即sinB·=(2sinC-sinB)·,所以=(2sinC-sinB)·,整理,得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA,sinC=2sinCcosA,于是cosA=,所以A=60°.(2)由正弦定理结合(1)可得√°,所以b=4sinB,c=4sinC,于是b-2c=4sinB-8sinC=4sinB-8sin(120°-B)=-4√cosB.因为A=60°,所以0°B120°,于是-cosB1,故-4√-4√cosB2√,即b-2c的取值范围是(-4√,2√).