武汉理工大学考研824材料力学第七堂课

考研材料力学（第七次课，弯曲位移）学生：王铭皓武汉理工大学力学系杨老师-邮箱[e-mail]弯曲正应力与强度校核弯曲切应力与强度校核梁的位移挠曲线近似微分方程与积分刚度校核目录叠加原理010203040506弯曲正应力与强度校核1弯曲正应力zIMy=s最大正应力：zWM=maxsmaxyIWzz=Wz–弯曲截面系数1弯曲正应力34max(1)32zzIDWy==圆环-dDDd=bh63bhWz=矩形d323dWz=圆形1弯曲正应力梁的正应力强度条件1、危险面与危险点分析：最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；Mssss=zWMmaxmax2、正应力强度条件：1弯曲正应力●强度校核:][maxmaxss=zWM●截面设计:zzWMWM][][maxmaxmaxsss=●载荷设计:][][maxmaxmaxsssMWWMzz=1弯曲正应力8解：画弯矩图并求危面内力例4-4-1、T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[st]=30MPa，[sc]=60MPa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？==kN5.10;kN5.2BARRMx2.5kNm-4kNmA1A2)(kNm5.2下拉、上压=CM（上拉、下压）kNm4=BM1m1m1mABCDP2=4kNP1=9kNA3A4画危面应力分布图，找危险点1弯曲正应力A3A4校核强度MPa2.2810763885.2822===zCtAIyMsMPa2.2710763524813===zBtAIyMsMPa2.4610763884824===zBcAIyMsMPaMPatt302.28max==ssMPaMPacc602.46max==ssT字头在上面合理Mx2.5kNm-4kNmA1A2y2y1CCzA3A4弯曲切应力与强度校核2弯曲切应力切应力的计算公式为：zzsbISF=1点处的截面宽度。为惯性矩，为整个截面对中性轴的的静矩，点以外的面积对中性轴为为截面剪力，其中ybIySFzzs2弯曲切应力1.工字形截面(1)腹板部分的切应力腹板：承担大部分剪力，且切应力接近于均匀分布。(2)翼缘上的切应力：很小，不计。承担大部分弯矩。剪应力流：剪应力顺着一个转向流动。zyOhyb0h0bISFzzs==2200202428yhbhhbSz:20hy==bbhhbIbFz02020max18s:0=y2020min8hhbIbFz=sminmax2弯曲切应力切应力强度条件1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。MssQFs2弯曲切应力2、切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Fs和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）Mss=zzsIbSFmaxmaxmax3、强度条件应用：依此强度准则也可进行三种强度计算：QFs2弯曲切应力。最大荷载强度确定梁所能承受的，试按胶合缝的切应力合缝的容许切应力合而成，尺寸如图。胶：简支梁由三块木板胶例PMPa5.0245=kN1.825.01209032332123323*=====bhPbhPbhbhhbPbISFZzsABPCxm5.1m5.140904040图，力解：分析胶合缝的剪应)()(cb)(b)(cxx梁的位移3梁的位移梁的位移－挠度及转角3梁的位移一、挠度(deflection)：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用w表示。向下为正，向上为负。二、转角(slope)：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑弹性曲线(elasticcurve)，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f(x)四、转角与挠度的关系：PAByxwC1)1()(ddtanxfwxw===小变形挠曲线近似微分方程与积分4挠曲线微分方程EIxM)(1=一、挠曲线近似微分方程EIxMw)(=式（2）就是挠曲线近似微分方程yxM00)(xffM00)(xfyxf)()1()(1232xffxf±±=小变形EIxMw)(=(2)4挠曲线微分方程)(xMwEI=对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线（弹性曲线）方程)(xMwEI=CdxxMwEI=))((DCxdxdxxMEIw=)))(((1、微分方程的积分4挠曲线微分方程2、位移边界条件、支点位移条件：、连续条件：DPPABC0=Aw0=Bw0=Dw0=D=CCww=CC右左或写成CC=右左或写成CCww=4挠曲线微分方程例5-2-1：求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。解：建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM=写出微分方程并积分PL应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMwEI==CxLPwEI=2)(21DCxxLPEIw=3)(61061)0(3==DPLEIw021)0()0(2===CPLwEIEI3261;21PLDPLC==fx4挠曲线微分方程PL写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6LxLxLEIPw=EIPLwwlx33max===EIPLL2)(2max==最大挠度及最大转角fx4挠曲线微分方程AbaBLpDxy解:梁的约束反力:1LbPRA=LaPRB=，2写出微分方程并积分xLbP122CxLbP1136DxCxLbP)(axPxLPb222)(22CaxPxLPb2233)(66DxCaxPxLPbARBR例5-2-2：求梁的最大挠度和最大转角。Lxaax0=wEI=wEI=EIwAD段()DB段()4挠曲线微分方程3应用位移边界、连续性条件求积分常数0)0(1==DEIw066)(2233==DLCaLPLLPbLEIw)()(=aEIwaEIw21DD=即)()(=awEIawEI21CC=即22216bLLPbCC==021==DD，4挠曲线微分方程4写出挠曲线方程并画出曲线2226xbLLEIPbx2222312bLxaxbLLEIPbxbLxaxbLLEIPb)(62233BBACDPL/2xy222312xbLLEIPbAD段DB段==w4挠曲线微分方程5最大挠度及最大转角abLEIaLPabB6)(max==处在323221baablx==当ab时，x1值将小于a，且x1l/2(中点右边)。也就是说，最大挠度在第一段梁上。b越小，x1越大，越远离中点。BBACDPL/2xymax,0==322max)(39bLLEIPbw=4挠曲线微分方程EIPbLEIPbLwEIPbLEIPbLwbC2222max0625.0160642.039==很小时，工程近似:简支梁，挠曲线无拐点时，其最大挠度值用梁跨中点处的挠度值来代替。Cwwmax6讨论)43(4822bLEIPbwC=梁中点，322max)(39bLLEIPbw=4挠曲线微分方程练习：用积分法求wc。qa43ABqa49qa2aC2432qxqax)32(axa)20(ax=wEI=wEI=EIwAB段BC段)2(492432axqaqxqax1326183Cqxqax2232)2(896183Caxqaqxqax114324181DxCqxqax22343)2(8324181DxCaxqaqxqax4挠曲线微分方程应用位移边界、连续性条件求积分常数0)0(1==DEIw)2()2(=aEIwaEIw021==DD即)2()2(=awEIawEI21CC=即6321qaCC==021==DD0)2()22(249)2(241)2(24323432===aCaaqaaqaqaEIwaxEIqawwaxC843===叠加原理5叠加原理按叠加原理求梁的挠度与转角载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()()(221121nnnPPPPPP=)()()()(221121nnnPwPwPwPPPw=5叠加原理aaPaaq=+例5-3-1按叠加原理求A点转角和C点挠度.aaqPAC解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。EIPawPC63=EIPaPA42=EIqawqC2454=EIqaqA33=5叠加原理aaPaaq=+aaqPAC、叠加EIPawPC63=EIPaPA42=EIqLwqC2454=EIqaqA33=qAPAa=)43(122qaPEIa=EIPaEIqawC624534=刚度校核6刚度校核))10001~2501(:(maxLwLwLw对土建工程max一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。LwLwmaxmax但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）