高三向量复习

高三数学复习平面向量2014.9.15一.“平面向量”在高考数学中的要求及考查特点1.“平面向量”的考查要求2.近4年全国高考“平面向量”的考查特点（1）侧重基础考查基本概念、基本运算（2014北京文科3）（3）已知向量(2,4)a，(1,1)b，则2ab（A）(5,7)（B）(5,9)（C）(3,7)（D）(3,9)（2014北京理科10）已知向量a，b满足||1a，(2,1)b，且0ab（R），则||．（2012湖北文科13）已知向量(1,0)a，(1,1)b，则（Ⅰ）与2ab同向的单位向量的坐标表示为；（Ⅱ）向量3ba与向量a夹角的余弦值为.（Ⅰ）31010(,)1010；（Ⅱ）255（2013四川文理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则______2______．（2012浙江理科5）设a，b是两个非零向量．（A）若||||||abab，则ab（B）若ab，则||||||abab（C）若||||||abab，则存在实数，使得ab（D）若存在实数，使得ab，则||||||abab（2）考查向量运算的几何意义（2013北京理13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab（,R），则.4（2014湖南理科16）在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0)A，(0,3)B，(3,0)C，动点D满足1CD，则OAOBOD的最大值是___.解：因为(1,0)(0,3)(1,3)OAOB，又(3,0)C，1CD，所以(cos3,sin)OD.对条件中的概念符号的几何意义的理解所以OAOBOD|(1,3)(cos+3,sin)||(cos2,3sin)|22(cos2)(3sin)23sin4cos828sin()8（23tan3）288≤2827(17)17.所以OAOBOD的最大值是17.（3）加强对数量积的概念和几何意义的考查（2011安徽理13，文14）已知向量a，b满足(2)()6abab，且||1a，||2b，则a与b的夹角为.解析：因为(2)()6abab，则2226aabb，即221226ab，所以1ab.所以1cos,||||2ababab.所以,60ab.对概念的考查（2012安徽理科14）若平面向量a，b满足：|2|3ab≤，则ab的最小值是_____.解析：因为|2|3ab≤22494abab≤，又22||||444≥≥ababab，所以944abab≥ab≥98.即ab的最小值是98.对相关概念与方法的考查向量与不等式综合（2012广东理科8）对任意两个非零的平面向量和，定义；若平面向量a，b满足||||0ab≥，a与b的夹角π(0,)4，且ab，ba都在集合{|}2nnZ中，则ab（A）12（B）1（C）（D）解析：因为||cos0||aabb，||cos0||bbaa，所以21()()cos(,1)2abba.因为ab，ba都在集合{|}2nnZ中，所以121()()(,1)42nnabba（1n，2nN）.依条件知32ab.故选C.考查概念及对新定义运算的阅读理解能力新向量运算与集合的关系（2014安徽理科15）已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量1x，2x，3x，4x，5x和1y，2y，3y，4y，5y均由2个a和3个b排列而成.记1122334455S=xyxyxyxyxy，minS表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.①S有5个不同的值；②若ab，则minS与||a无关；③若∥ab，则minS与||b无关；④若||4||ba，则min0S；⑤若||2||ba，2min8||Sa，则a与b的夹角为π4.理解S的含义及不同表示形式解：设a，b的夹角为（[0,π]），依题意S的取值有下面3种情况：（1）1S=aaabbabbbb2222aabb（2）2S=ababbababb24abb（3）3S=aaaabbbbbb2223ab因为2222312()||0SS=≥aabbabab，2222122()||0SS=≥aabbabab，所以2min24SSabb.（ⅰ）因S的取值只有上面3种情况，显然①错误；（ⅱ）若ab，则0ab，所以2min||Sb，与||a无关，故②正确；（ⅲ）若∥ab且a，b方向相反时，2min4||||||Sabb，与||b有关，故③不正确；（ⅳ）因为2min4||Sabb||(4||cos||)bab||(4||||)0≥bab，所以若||4||ba，则min0S.故④正确；（ⅴ）因为||2||ba，则2min4||Sabb2228||cos4||8||aaa.解得1cos2.所以a与b的夹角为π3.故⑤错误.近4年高考向量试题特点1.重视基本概念、基本运算、基本方法的考查2.强调对向量概念、运算的几何意义的理解和运用多角度考查数形结合的思想方法3.试题的呈现方式、交汇综合不断创新4.向量试题在区分功能上更加多极化：基础题、中档题、亮点题.（2010北京理6）-----0.37若a，b是非零向量，“ab”是“函数()()()fxxxabba为一次函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3.新课程以来北京高考“平面向量”试题（2010北京文4）若a，b是非零向量，且ab，||||ab，则函数()()()fxxxabba是（A）一次函数且是奇函数（B）一次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数（2011北京理10，文11）已知向量(3,1)a，(0,1)b，(,3)kc.若2ab与c共线，则k=____1_______.（2012北京文、理13）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则CBDE的值为____1____，DCDE的最大值为___1___.考查对概念的理解（2013北京理13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab（,R），则4.（2013北京文14）已知点(1,1)A，(3,0)B，(2,1)C.若平面区域D由所有满足APABAC（12≤≤，01≤≤）的点P组成，则区域D的面积为3.（2014北京文科3）（3）已知向量(2,4)a，(1,1)b，则2ab（A）(5,7)（B）(5,9)（C）(3,7)（D）(3,9)（2014北京理科10）已知向量a，b满足||1a，(2,1)b，且0ab（R），则||5．二.“平面向量”知识结构和复习建议1.知识结构向量的概念向量的运算定理与公式加法减法实数与向量的积平面向量的数量积平面向量基本定理两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件符号表示，坐标表示，几何表示平面向量的数量积公式2.平面向量的复习主线1：知识结构主线平面向量的基本概念及线性运算向量和向量运算的坐标表示及平面向量基本定理平面向量的数量积及向量的初步应用3.平面向量的复习主线2：思想方法主线◆强化理解向量概念及运算的几何意义的意识◆强化向量模与向量式的互化的基本思想方法◆强化向量“基本量”的基本思想方法◆强化用向量坐标方法解决问题的基本思想方法◆强化向量式与图形等价转化的思想方法◆强化运动变化、数形结合的思想方法三.知识结构主线(一)向量的基本概念和线性运算本节的重点：（1）加强基本概念，基本运算，基本方法的巩固落实特别是关于向量共线的相关内容（2）向量和向量运算的几何意义—数形结合的基础1.向量的加、减法、数乘及几何意义本节的难点：数形结合是向量的本质特征，也是学习向量的难点，因此在复习向量时必须树立数形结合的意识，掌握数形结合的基本方法.相关提示：零向量：长度为零的向量称为零向量单位向量：长度为1的向量称为单位向量▲表示：i，j，…；▲由非零向量a生成的单位向量aa及二者关系平行向量：方向相同或相反的非零向量称为平行向量（规定：0与任何向量平行）两个向量平行的充要条件（共线向量基本定理）：设b≠0，则a∥b存在λ∈R使a=λb（其中：λ0时，a、b方向相同；λ0时，a、b方向相反）▲不重合三点A，B，C共线存在λ∈R使AB=λBC已知O是ABC△所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC0，那么（）Ａ．AOODＢ．2AOODＣ．3AOODＤ．2AOOD2007北京理4解析1：因为2OAOBOC0，所以2OA+(OD+DB)+(OD+DC)=0.所以2OA+2OD+(DB+DC)=0.因为D是BC的中点，所以DB+DC=0.所以2OA+2OD=0.即AOOD.故选A.向目标转化及时化简解析2：因为2OAOBOC0，所以OB+OC=-2OA.因为D是BC的中点，所以OB+OC=2OD.所以2OD=-2OA，即AO=OD.故选A.直接化简条件解析3：分析选项特点（2014浙江理科8）记,,max{,},,xxyxyyxy≥,,min{,},,yxyxyxxy≥设a，b为平面向量，则A.min{||,||}min{||,||}≤abababB.min{||,||}min{||,||}≥abababC.2222max{||,||}||||≤abababD.2222max{||,||}||||≥ababab画图分析，举反例(二)向量和向量运算的坐标表示，平面向量的基本定理向量和向量运算的坐标表示若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，k∈R则ka=k(x1，y1)=(kx1，ky1)，a±b=(x1±x2，y1±y2)，a∥bx1y2-x2y1=0平面向量基本定理：已知a，b是平面上两个不平行的非零向量，则对于平面内任一向量p，存在唯一的u，v∈R，使得p=ua+vb成立.理解定理：▲任意的向量p，存在u，vR，使p=ua+vb▲若ua+vb=0，则u=v=0.▲若ua+vb=sa+tb，则u=s，v=t.联系1：a=λb是直线上的“基本定理”（b为基底，b≠0）p=ua+vb是平面上的基本定理（a，b非零且不平行）整体把握平面向量基本定理联系2：数轴与平面直角坐标系是基本定理的“特殊情况”.作用：▲表示平面内向量▲刻画直（曲）线例若p=OP，a=OA，b=OB，则当且仅当u+v=1时，A，B，P三点共线.表示且唯一（2013江苏10）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ABAD21，BCBE32，若12DEABAC（1，2为实数），则21的值为.解析：因为DEDBBE1223ABBC12()23ABACAB1263ABAC,而12DEABAC，所以116，223.所以1212.基本量的方法DABCE如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝32，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为.分析：依条件恢复平行四边形，依条件可得OD=2OB，OE=4OA.所以OC＝OE+OD=4OA+2OB.由向量基本定理可知λ=4，μ=2，所以λ+μ=6.基本定理平行四边形2007陕西理--15读懂OAOB与的几何意义(三