人口控制问题-论文

毕业论文（设计）题目：预估2020年中国的人口情况姓名：张伟系别：数学与计算机科学学院专业班级：数学与应用数学09本(1)班指导教师：张家锋•1．引言•问题重述•2.指数增长模型•2.1模型假设•2.2符号说明•2.3建立模型•2.4参数估计•2.5结果分析•3.阻滞增长模型•3.1模型建立•3.2参数估计•3.3结果分析•3.4模型检验•3.5人口预估•4.人口老龄化趋势预测•4.1预测方案•4.2数值结果•4.3原因分析•4.4特征分析•4.5影响分析•4.6建议措施•5.总结•1引言•随着科学技术和生产力的飞速发展，至20世纪末期以来，世界人口也随之以空前的规模增长，据统计数据显示：•由上表不难看出，人口增加十亿所需的时间由原来的一百年迅速缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已不堪重负地携着它的60亿子民步入21世纪。•中国作为世界上人口最多的发展中国家，我国的人口问题将直接影响我国家的经济和社会的发展。本设计运用数学建模的方法，建立了中国人口增长的数学模型，并对未来中国2020的人口状况进行预估。年份1625183019301960197419871999人口（亿）5102030405060问题重述中国是一个人口大国，也是世界上人口最多的过国家。人口问题制约我国经济的发展，阻滞我国进入发达国家的客观因素。近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，人口出生率大幅度下降、老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及农村人口城镇化等因素，这些都是影响中国人口增长的主客观因素。20世纪以来，世界人口发展的基本趋势：一是随着观念的不断发展，人们的生育理念不愿触及国家法律导致生育水平逐步下降，人口总量经历从高速增长到增速趋缓时期。发展中国家总和生育率从6.2下降到2.9,发达国家从2.8下降到1.6，我国的总和生育率从1981年的14.55下降到2010年的4.79。据联合国预测，到本世纪中叶，全球人口再生产类型转变将基本完成。二是人口年龄结构持续老龄化。2000年，世界60岁以上和65岁以上老年人口比重分别达到10％和7％，欧洲为20％和15％。2001年我国60岁以上的老年人为1.394亿，2011年我国60岁以上的老年人达到1.5725亿。可以看出，在短短的11年间我国的老年人就增加了1800万，相当于每年增加的老年人为160万。三是人口素质成为综合国力竞争的核心，在经济社会发展中的作用更加突出。四是人口城镇化快速发展，城镇人口接近50％•2指数增长模型•2.1模型假设•1、假设在中国在未来会长期保持安定的局面，•2、不考虑突发事件和因不可抗力等自然因素对人口数量造成的影响，•3、不考虑人口的出入变更,•4、假设在中短期内死亡率和生育率保持相对稳定，•5、假设相同年龄段的人口性别比基本稳定，•6、假设计划生育等国家基本法律法规保持不变，•7、假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响。•2.2符号说明•x(0)：今年人口•x(k)：k年后人口•r：年增长率•x(t)：t时刻的人口•2.3模型建立•最简单的人口增长模型是人所共知的：记今年人口为x0，k年后人口为x(k)：，年增长率为r，则：•显然，这个公式的基本条件是年增长率保持不变。•二百多年前英国人口学家马尔萨斯（Malthus,1766—1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并以此建立了著名的人口指数增长模型。•记时刻t的人口为x(t)，当对一个国家或者一个较大地区的人口进行考察时，x(t)是一个很大的整数，为了利用微分这一数学工具，将x(t)视为一个连续可微函数。记初时刻(t=0)的人口为x0，假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于x乘以x(t)，考虑t到t+△t内人口的增量，显然有:•令△t→0，得到x(t)满足微分方程•利用这个方程很容易解得•)1(;)1)(0()(krxkxttxrtxttx)()()()2(;0)0(,xxrxdtdx)3(;*0)(rtextx•2.4参数估计•为了利用简单的线性最小二乘积，将（3）式取对数，可得•以1981年到2000年的数据拟合（4）式，用MATLAB软件计算可得•r=12.47/年•以1981年到2010年的数据拟合（4）式，用MATLAB软件计算可得•r=10.27/年)4(;0ln,ln,xaxyarty•2.5结果分析•用上面得到的参数代入（3）式，将计算结果与实际数据作比较。表中计算人口是用1980年到2000年的数据拟合的结果，计算人口是用全部数据（1980年到2010年）拟合的结果，图1，图2是它们的图形表示年1981198219831984198519861987198819891990实际数据1010.110.310.4310.5810.7510.9311.1011.2711.43计算人口x199.189.439.569.689.819.9410.0510.1710.29计算人口x277.17.37.57.87.988.158.288.428.58年1991199219931994199519961997199819992000实际数据11.5911.7111.8511.9812.1112.2312.3612.4712.5812.67计算数据x110.4510.610.7410.911.1611.3211.4811.6411.8111.98计算数据x28.748.939.149.289.59.8810.1510.3710.6411.01年2001200220032004200520062007200820092010实际数据12.7612.8512.9212.9913.0813.1413.2113.2813.3513.41计算数据x1计算数据x211.2511.9812.5613.1213.6814.2314.8715.4516.0216.5602468101214161819811985198919931997200120052009实际人口计算人口x1计算人口x2•可以看出，用这个模型基本上能够描述21世纪以前中国人口的增长，但是进入21世纪以后，中国人口增长明显变慢，这个模型就不适合了。但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数学模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上是不断地变化的。排除灾难。战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，增长较快；即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长率就会慢下来，即增长率变小。如下图所示：年1981198219831984198519861987198819891990增长率14.5515.6813.2913.0814.2615.5716.6114.215.0414.39年1991199219931994199519961997199819992000增长率12.9811.611.4511.2110.5510.4210.069.148.187.58年2001200220032004200520062007200820092010增长率6.596.456.015.875.895.285.175.085.054.79•可以看出，进入2000年以后增长率明显下降，用平均增长率作为，用指数增长模型描述中国人口的变化，结果显然与真实值有所差距。•所以，为了使人口预报特别是长期预报更好的符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。•3阻滞增长模型•3.1模型建立•探究人口增长到一定数量后增长率慢慢下降的主要原因，在过去的实践和经验中可以总结得到，对人口的增长都起着阻滞作用为自然资源、环境资源以及社会观念等因素，并且随着人口的增长，阻滞作用就越大。所谓阻滞增长模型就是基于自然资源、环境资源以及社会观念等因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后所得到的结果。•阻滞作用体现在对人口增长率的影响而上，使得随着人口数量的增加下降。若将r表示为x的函数r(x)，则它应该是减函数，于是方程（2）写作•对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即•)5(0)0(),(；xxxrdtdx）；（，60,0)(srsxrxr•这里称r固有增长率，表示人口很少时（理论上是x=0）的增长率，为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称人口容量。当(x=xm)时人口不在增长，即增长率r=0，代入（6）式得•于是（6）式为•将（7）式代入方程（5）得•（8）式右端的因子rx体现自身增长趋势，因子1-x/xm则体现了资源和环境对人口增长的作用。显然，x越大，前一个因子越大，后一个因子越小，人口增长是两个因子共同的结果。有上面人口的增长率可以看出，在2000年以后，由于我国的人口计划生育系统的不断完善，人们对计划生育观念的转变，在进入二十一世纪的中国，人口增长率也在不断的下降。mxrs)7();1()(mxxrxr)8(;0)0(),1(xxxxrxdtdxm•3.2参数估计•为了利用简单的线性最小二乘积法估算这个模型的参数r和，方程（8）表示为:•上式左端可以表示从图3的实际数据用微分算出，右端对参数r，s是线性的，我们利用1981年至2010年的数据，用MATLAB软件计算得到r=9.5/年•参数估计也可以借助专家的经验。例如，某些人口学家估计世界人口的固有增长率r=0.029，又知道世界人口在1960年为29.8亿，增长率是1.85％，即•于是按照方程（8），世界人口容量为：•xm=29.8/(1-0.0185/0.029)=82.3亿•)9(;,mxrssxrxdtdx,0185.0dtdx•3.3结果分析•方程（8）可以用分离变量法求解得到•用上面得到的参数r与代入（10）式，将计算结果与实际数据作比较，得图4和图5.)10(;)10(1)(rtmmexxxtx年2001200220032004200520062007200820092010实际数据12.7612.8512.9212.9913.0813.1413.2113.2813.3513.41计算数据12.7512.8612.9312.9813.1013.1613.2313.3113.3813.44年1991199219931994199519961997199819992000实际数据11.5911.7111.8511.9812.1112.2312.3612.4712.5812.67计算数据11.3811.5611.6411.7311.8711.9812.1512.3412.5112.65年1981198219831984198519861987198819891990实际数据1010.110.310.4310.5810.7510.9311.1011.2711.43计算数据9.69。719.8510.1210.3810.5110.6410.8511.0611.2102468101214161981198419871990199319961999200220052008实际人口计算人口可以看出，用这个模型拟合是虽然刚开始有一段(1981年到1993年）不大好，但是后面的一段（1997年到2009年）吻合得不错•3.4模型检验•在估计阻滞增长模型的参数时没有用到2011年的实际数据，是为了用它来对阻滞模型进行检验。我们用这个模型计算2011年的人口，与已知的实际数据（13.735亿）比较，来检验模型是否合适。•为简单起见，可利用x(2010)和方程（7）作如下计算•得到x(2011)=13.82亿，与实际数据的误差约为2.8％，可以认为这个模型是相当满意的。•3.5人口预估•用这个模型检验中的计算方法预报我国2020年的人口，得到。这个预估结果的准确性如何，让我们拭目以待。])2010(1)[2010()2010()2010()2011(mxxrxxxxx•4.人口老龄化趋势