保险精算期末复习题

1《保险精算学》课程期末复习题一、名词解析：永续年金【Cf:教材P26】永续年金：是收付期限没有限制、每隔一个时间间隔永远连续收付得年金。期末付永续年金的现值：1limnnaai期首付永续年金的现值：1limnnaad死亡力【Cf:教材P54】死亡力：达到x岁的人中，在一瞬间里死亡的人所占的比率，记为x'()()[ln()]()1()xsxfxsxsxFx人寿保险【Cf:教材P77】人寿保险：（1）狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的【保险赔付条件】的一种保险。（2）广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标的的生存保险和两全保险。定期寿险：以死亡为给付保险金条件，且保险期限为固定年限的人寿保险。终身寿险：保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。纯生存保险：以被保险人投保后在规定期期满时仍然生存为保险金支付条件的险种。两全保险：定期寿险和纯生存保险的合险。趸缴净保费【Cf:教材P82】趸缴净保费：在保单生效日，被保险人一次性缴付的、恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。生存年金【Cf:教材P95】生存年金:以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型。如果被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否则，不发生收付。二、简答题：21.人寿保险精算的原理的内容【Cf:教材P3】保险的基本原理是将众多投保人的保费集中到承保人处,当风险发生后,由承保人承担损失。它的理论基础是概率论和大数定律。投保人通过付出少量且固定的保费,将大量的不确定的损失转移到承保人或保险公司身上；承保人利用保费收入一方面保证赔偿的正常进行,另一方面,通过分析与计算来合理调配资金,提高保险基金的投资效益,最终使投保人和承保人都有所收获。2．债劵定价原理的内容及四种常用债劵价格计算公式。【Cf:教材P38-39】债劵定价原理：债券的理论价格就是债劵未来息票收入的现值与到期偿还值的现值之和。债券定价的基本公式：nnPrFaCv债券定价的溢价公式：[1()]nPCgia债券定价的基价公式：()nPGCGv债券定价的Makeham公式：()gPCKKi3．寿险现值的递推公式及其直观解释【Cf:教材P92】寿险现值的递推公式：1xxxxAvqvpA直观解释：()x的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于()x在第一年死亡的情况下1单位的赔付额与生存满一年的情况下净趸缴保费1xA之和。4．生存年金与寿险的关系【Cf:教材P107-109】生存年金与寿险是两种不同的保险，它们的精算现值都依赖于被保险人的死亡年龄。(1)终身寿险和期初付终身年金：1xxdaA(2)终身寿险和期末付终身年金：1xxxiaiAA(3)定期寿险和定期年金：::1xnxndaA(4)死亡时赔付寿险和连续年金：1xxaA；::1xxnnaA(5)其它关系式：xxxAvaa；1:::xnxnxnAvaa三、选择题31．某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资5年的累积值为（B）万元。A7.19B4.04C3.31D5.23【复利：350.063(1)4.043；单利：0.063(135)3.93】2．甲向银行借款1万元，每年计息2次的名义利率为6%，甲第二年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（A）元。A7225B7213C7136D6987【220.0610000(1)40007225.092】3．某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等，那么v(A)A.113nB.13nC.13nD.3n【12nnaaa】4．延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为21t，t时刻的利息强度为11t，该年金的现值为（B）A.52B.54C.56D.58【115|65()xtabvtdt，2(1)tbt，0111()()1ttdtvtatte】5.如果221100xxx，0100x，求0l=10000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（B）。A.2073.92B.2081.61C.2356.74D.2107.56【021100()()100001xtdtxsxex，20100()()1xxllsxx】6.已知20岁的生存人数为1000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|201q为（C）。A.0.008B.0.007C.0.006D.0.0054【2122|20120llql】7．某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定110xlx，0110x。利息力δ=0.05。Z表示保险人给付额的现值，则密度0.8Zf等于（D）A.0.24B.0.27C.0.33D.0.36【TZv，(40)1()(40)70Tstfts，ln(){}{}1()lnTZTzFzPZzPvzFv】8．已知767.8a，760.06vq，0.03i，则77a（C）A.7.1B.7.3C.7.5D.7.7【11xxxavpa，1xxpq】四、证明题1.当1n时，证明：()()nnddii【证明】引理1（Bernoulli不等式）：当1x，1时，有(1)1xx引理2:当0x时，有1xex由()()()1(1)1()1nnnndddndnn，得()ndd由()()()1(1)11nnnniiininn，得()nii由()11(1)1nndedin，知()11nndenn，故()nd由()1(1)nniein，知()11nnienn，故()ni2.证明等式：（1）|||nmmnmavaa；（2）(1)nnnsia（3）(1)mmnmnssis；（4）()nmnmnsvss5【证明】（1）|11mnmmmnmnvvvvaii||11mnmmmnvvvavaii（2）(1)11(1)(1)nnnnnnivsiiaii（3）(1)1(1)(1)(1)1mnmnmmmniiiisii(1)1(1)1(1)(1)nmmmnmiiiissii（4）(1)1(1)(1)(1)mnmnnmniiisiii(1)1(1)1[()mnnnmniivvssii3.证明：11xxxavpa【证明】注意到xxxNaD，xxxDvl和1xxxNND，有111111111xxxxxxxxxxxNlNDvpavpvDlvl1xxxxNDaD五、计算题1.李华1994年1月1日从银行借款1000元，假设年利率为12%（1）1994年5月20日时，他需还银行多少钱（以单利计算）？（2）1996年1月1日时，他需还银行多少钱（以复利计算）？（3）几年后需还款1500元（以单、复利计算）？【解】（1）12%1000(1139)1045.70365（元）（2）21000(10.12)1254.4（元）（3）按单利计：由1000(112%)1500n，得4.17n（年）6按复利计：由1000(112%)1500n，得3.58n（年）2.某人在2008年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，在复利下，试求解以下问题：（1）年利率i；（2）贷款额在2013年7月22日的价值；（3）名义利率(12)i【解】（1）由1ei，知0.14110.1503iee（2）贷款额在2013年7月22日的价值为550.74000(1)400040008055.01iee（元）（3）由公式：()(1)1mmiim，知10.14(12)12121212[(1)1]12(1)12(1)0.1408iiee3．债券的面值为1000元，年息票率为5%，期限为6年，到期按面值偿还，投资者要求的年收益率为5.5%，试计算债券购买价格。【解】由题设，由F=C=1000r=g=0.05i=0.055n=6nnPrFaCv()nrFrFCvii60.0510000.0510001(1000)()975.020.0550.0551.055（元）4.利用下面得生命表年龄6061626364生存人数1000990970940900计算：（1）260p（2）60岁的人在61—63岁之间死亡的概率【解】（1）62260609700.971000lpl7（2）因在61—63岁之间死亡50人，故所求概率为2611|26060500.051000dql。5．某男在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，死亡年年末赔付，假设他的生存函数可以表示1000(1)105xxl，10%i，求这一保单的精算现值。【解】见教材P83，例5.4思考：若赔付在死亡时，又如何计算？6．假设张某50岁时购买的是保额为100000元的终身寿险，死亡年年末赔付。已知1000(1)105xxl，预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。【解】由题设，有5050505555ttltpl，50150501155tttlqlt，故该保单的趸缴净保费为54(1)50505001000001000001.08ttttApq54(1)05511000001.085555tttt=5511()10000011.0822397.481551.0811.08（元）7．设生存函数为1100xsx(0100x)，年利率0.10i，保险金额为1元，计算：趸缴纯保费130:10A的值。【解】由()1100xsx，知()1()100txxtsxtpsxx故10101303030:1000110.0921.170ttttAvpdtdt8.某人在30随时购买了一份年金，约定的给付为：从51岁起，如果被保险人生存，每年可以得到5000元的给付，直到被保险人死亡为止。设年利率为6%，存活函数为0100(1)xllx，试计算这笔年金在购买时的精算现值。8【解】由存活函数可得生存概率：3030307070kklkpl，又因为20|3030302121kkkkkaEvp因而这笔年金的精算现值为：6930202170500050001.0612358.0970kkka（元）