13-2-一致收敛函数列与函数项级数的性质

返回后页前页§2一致收敛函数列与函数项级数的性质一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.返回返回后页前页定理13.8(极限交换定理)设函数列{}nf在00(,)(,)axxb()fx上一致收敛于,且对每个n,0lim(),nnxxfxalimnna则和0lim().xxfx均存在且相等即00limlim()limlim().(1)nnxxnnxxfxfx{}na0{}nf证先证是收敛数列.对任意,由于一致收敛,故存在正整数N,当nN及任意正整数p,对一切00(,)(,)xaxxb有|()()|.nnpfxfx返回后页前页从而0||lim|()()|.nnpnnpxxaafxfx{}nalim,nnaA设于是由柯西准则可知是收敛数列,即0limlim(),nnxxfxA下面证明00lim()limlim().nxxxxnfxfxA注意到|()|fxA1111|()()||()|||NNNNfxfxfxaaA只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定的任意正数即可.返回后页前页，,因此对任()nfx()fxnaA由于一致收敛于收敛于|()()|||33nnfxfxaA和同时成立.特别当1nN时,有,有0(,)xb0意nN,存在正数,当时,对任意0(,)xaxN1111|()||()()||()|||NNNNfxAfxfxfxaaA11|()()|||33NNfxfxaA和返回后页前页011lim(),NNxxfxa0又因为故存在,当00||xx时,也有11|()|.3NNfxa0,0,xxx这样当满足时111|()||()()||()|NNNfxAfxfxfxa1||,333NaA1111|()||()()||()|||NNNNfxAfxfxfxaaA这就证明了0lim().xxfxA返回后页前页定理指出:在一致收敛的条件下,{()}nfx中关于独立变量x与n的极限可以交换次序,即(1)式成立.,()(,)nfxab类似地若在lim()nxafx上一致收敛,且存在,则有limlim()limlim();nnnnxaxafxfx()(,)lim(),nnxbfxabfx若在上一致收敛,且存在则有limlim()limlim().nnnnxbxbfxfx返回后页前页定理13.9(连续性)若函数列{}nf在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f在I上也连续.证000.lim()(),nnxxxIfxfx设为上任一点由于于是由定理13.8知0lim()xxfx也存在,且000lim()lim()(),nxxnfxfxfx0().fxx因此在上连续定理13.9可以逆过来用:若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续,则此函数列在区间I上一定不一致收敛.返回后页前页{}nx(1,1]例如:函数列的各项在上都是连续的,但其极限函数0,11,()1,1xfxx1x在时不连{}nx(1,1]续,所以在上不一致收敛.返回后页前页{}nf[,]ab证设为函数列在上的极限函数.由定理f[,]ab(1,2,)nfnf13.9知在上连续,从而与在f[,]ab上都可积.于是(3)变为lim()d()d.(3)bbnaanfxxfxx{}nf[,]ab定理13.10(可积性)若函数列在上一致收敛,且每一项都连续,则lim()dlim()d.(3)bbnnaannfxxfxx返回后页前页()()d(()())dbbbnnaaafxfxxfxfxx()()d(),bnafxfxxba这就证明了等式(3).这个定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算的顺序可以交换.[,],nabff因为在上一致收敛于0故对于任意,存在,,[,],NnNxab当时对一切都有|()()|.nfxfx再根据定积分的性质,当时有nN返回后页前页12,0,211()22,,1,2,.210,1,nnnnnxxnfxnxxnnnxn(其图象如图13－6所示).{()}nfx[0,1]显然是上的连续函数列,且对任意[0,1]xlim()0.nnfx,例1设函数136图y1nf12n1nnxO返回后页前页[0,1]xlim()0.nnfx,136图y1nf12n1nnxO[0,1]sup|()0|nnxfx又{()}[0,1]nfx在因此,上一致收敛于0的充要条件是.0()nn10()d,2nnfxxn1100()d()d0nfxxfxx又因故lim02nnn的充要条件是.返回后页前页{()}[0,1]nfx在上一致收敛于0的充要条件是0n1100()d()d0nfxxfxxlim02nnn的充要条件是.1,n这样,当时虽然{()}nfx()fx不一致收敛于,但定理13.10的结论仍成立.{()}nfx().fx但是，当时,不一致收敛于nn101()d2nfxx同时10()d0.fxx也不收敛于()n返回后页前页1,n这样,当时虽然{()}nfx()fx不一致收敛于,但定理13.10的结论仍成立.{()}nfx().fx但是，当时,不一致收敛于nn101()d2nfxx同时10()d0.fxx也不收敛于{()}nfx()fx例1说明当收敛于时,一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件,不是必要条件.返回后页前页ddlim()lim().(4)ddnnnnfxfxxx{}nf[,]ab定理13.11(可微性)设为定义在上的函数列,0[,]xab{}nf{}nf[,]ab若为的收敛点,的每一项在{}nf[,]ab上有连续的导数,且在上一致收敛,则0lim(),nnfxA设gnf[,]ab证为在上极限函数,{}nf[,]ab下面证明函数列在区间上收敛,且其极限函数的导数存在且等于g.返回后页前页0lim(),nnfxA设gnf[,]ab证为在上极限函数,{}nf[,]ab下面证明函数列在区间上收敛,且其极限函数的导数存在且等于g.00()()()d.xnnnxfxfxftt,,nA当时右边第一项极限为第二项极限为,于是0()d.xxgttf所以上式左边极限存在,记为由定理条件,对任一总有[,],xab0()lim()()d.xnxnfxfxAgtt由g的连续性及微积分学基本定理得.fg这就证明了等式(4).返回后页前页0x{}nf注请注意定理中的条件为的收敛点的作用.[,]ab{}nf在定理的条件下,还可推出在上函数列一致收敛于f,请读者自己证明.与前面两个定理一样,一致收敛是极限运算与求导运算交换的充分条件,而不是必要条件,请看下例.返回后页前页例2函数列221()ln(1),1,2,2nfxnxnn与22(),1,2,1nnxfxnnx在[0,1]上都收敛于0,由于[0,1]1limmax|()()|,2nnxfxfx{()}[0,1],nfx所以导函数列在上不一致收敛但有lim()0[lim()].nnnnfxfx返回后页前页在上述三个定理中,我们都可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子.在今后的进一步学习中(如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件,但在目前情况下,只有满足一致收敛的条件,才能保证定理结论的成立.下面讨论定义在区间[,]ab上函数项级数12()()()(5)nuxuxux的连续性、逐项求积与逐项求导的性质,这些性质可根据函数列的相应性质推出.返回后页前页定理13.12(极限交换定理、连续性定理)()nux0()Ux1.若函数项级数在一致收敛,且对,0lim()nnxxuxa每个,则有n00lim()lim().nnnxxxxuxuxa(6)()nux[,]ab2.若区间上一致收敛,且每一项都连续,则其和函数在[,]ab上也连续.返回后页前页[,]ab0[,]xab在上每一项都有连续的导函数,为定理13.13(逐项求积定理)若函数项级数()nux()d()d.(7)bbnnaauxxuxx定理13.14(逐项求导定理)若函数项级数()nux()nux()[,]nuxab在的收敛点,且上一致收敛,则dd()().(8)ddnnuxuxxx[,]ab()nux上一致收敛,且每一项都连续,则在返回后页前页定理13.13和13.14指出,在一致收敛条件下,逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导.注本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式(2)~(4),(6)~(8),更重要的是根据定理的条件,即使没有求出极限函数或和函数,也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质.返回后页前页例3设2231()ln(1).1,2,nuxnxnn()nux[0,1]证明函数项级数在上一致收敛,并讨论和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性.()nux[0,1]证:对每一个n,易见为上的增函数,故有231()(1)ln(1),1,2,.nnuxunnn21,ln(1),ttt又当时有不等式所以2332111()ln(1),1,2,.nuxnnnnnn返回后页前页2332111()ln(1),1,2,.nuxnnnnnn21()nuxn收敛级数是的优级数,因此级数()nux[0,1]在上一致收敛.()nux[0,1]由于每一个在上连续,根据定理13.12与()nux()Sx[0,1]定理13.13知的和函数在上连续且可积.又由返回后页前页222221(),1,2,,(1)2nxxuxnnnxnnxn21()nuxn即也是的优级数,()nux[0,1]故在上一致收敛.由定理13.14,得知()Sx在[0,1]上可微.作业：P414,7