信号与系统课程设计

信号与系统课程设计一．设计题目：应用MATLAB实现连续信号的采样与重构仿真二．课程设计的目的1.掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。2.掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。3.初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。4.加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；验证信号与系统的基本概念、基本理论，掌握信号与系统的分析方法。5.加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法三．设计原理1．MATLABMATLAB（MatrixLaboratory）是美国MathWork公司自20至80年代中期推出的一系列教学软件，强大的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其迅速在数学软件中脱颖而出。MatrixLaboratory意为“矩阵实验室”，最初的MATLAB只是一个数学计算工具。但现在的MATLAB已经远不仅仅是一个“矩阵实验室”，它已经成为一个集概念设计、算法开发、建模仿真，实时实现于一体的集成环境，它拥有许多衍生子集工具。MATLAB还提供了非常丰富的函数，拥有强大的符号功能，可自动的选择算法，对其他软件和语言有很好的对接性，它可以提供非常灵活的数组运算还具有通信箱原理，可进行小波理论分析，也同样可以应用于信号的线形系统分析的采样与重构内容。在各个领域里都可以找到它的身影。整个课程设计都是需要MATLAB软件的庞大系统支持,包括编程以及输出。本文基于Matlab强大功能来分析Sa(t)信号的抽样与重构,由于Sa信号易于生成,分析方便,故在许多实际应用与仿真中(如数字通信系统等)运用较为广泛。对于连续时间信号的处理,往往将它转换为相应的离散信号(或数字信号),并进行加工和处理,然后再将处理后的离散信号转换为连续时间信号。而抽样定理为连续信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。其中Matlab最基本的二维图形的绘图函数有:plot:绘制二维曲线title:给图形加标题grid:显示网格线xlable:给X轴加标记ylable:给Y轴加标记text:在坐标图中加文字叙述2．重构仿真所谓仿真（Simulation），就是模型实验，即通过对系统模型进行实验来研究一个存在的或设计中的系统。按照模型的建立方法，仿真方法可以分为3类：实物仿真、数学仿真和半实物仿真。Simulation是MATLAB中的一个建立系统方框图和系统方针环境,是一个对动态系统进行建模仿真并对仿真结果进行分析的软件包.使用它可以方便的对系统进行可视化建模.使得仿真系统建模与工程中的方框图统一起来,我这次要做的课程设计是基于连续系统下对连续时间信号采样和重构,所以了解Simulation对本次的课程设计有很大帮助。3．系统与连续时间信号系统是连续事物或各个部分的一个复杂的整体，有形或无形事物的组成体。系统可以分为即时系统与动态系统；连续系统与离散系统；线性系统与非线形系统；样时变系统和非时变系统等等。在连续时间系统中，如一个连续时间系统接收，根据定义在连续时间（-∞t∞）有定义的信号称为连续时间信号，在范围内输入信号x(t)，并产生输出信号y(t)。连续时间信号是在连续时间范围内定义的信号值，信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。当信号幅值连续是，则称之为模拟信号。4．信号的采样取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示，这些样本值包含了连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说取样定理在连续时间信号与离散时间信号中架起了一座桥梁。其具体内容如下：取样定理：设为带限信号，带宽为0F，则当取样频率02FFs时，可从取样序列)()(sanTxnx中重构，否则将导致)(nx的混叠现象。带限信号的最低取样频率称为Nyquist（奈奎斯特）速率。图1给出信号采样原理图图1信号采样原理图由图1可见，)()()(ttftfTss，其中，冲激采样信号)(tTs的表达式为：nsTnTtts)()(（1）其傅立叶变换为nssn)(，其中ssT2。设)(jF，)(jFs分别为)(tf，)(tfs的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得：nssnsssnjFTnjFjF)]([1)(*)(21)(（2）若设)(tf是带限信号，带宽为m如图（2），由式（2）可见，)(tf经过采样后的频谱)(jFs就是将)(jF在频率轴上搬移至,,,,,02nsss处（幅度为原频谱的sT1倍）。因此，当ms2时如图（4），频谱不发生混叠；而当ms2时如图（5），频谱发生混叠。应该指出的是，实际信号中，绝大多数都不是严格意义上的带限信号，这时根据实际精度要求来确定信号的带宽m。5．信号重构设信号)(tf被采样后形成的采样信号为)(tfs，信号的重构是指由)(tfs经过内插处理后，恢复出原来信号)(tf的过程。又称为信号恢复。若设)(tf是带限信号，带宽为m，经采样后的频谱为)(jFs。设采样频率ms2，则由式（2）知)(jFs是以s为周期的谱线。现选取一个频率特性ccsTjH0)(（其中截止频率c满足2scm）的理想低通滤波器与)(jFs相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)(jF。显然，)()()(jHjFjFs，与之对应的时域表达式为)(*)()(tfthtfs（3）而nssnssnTtnTfnTttftf)()()()()()()]([)(1tSaTjHFthccs将)(th及)(tfs代入式（3）得：nscscsccssnTtSanTfTtSaTtftf)]([)()(*)()(（4）式（4）即为用)(snTf求解)(tf的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(tSac在此起着内插函数的作用。设tttSatfsin)()(，其)(jF为：101)(jF即)(tf的带宽为1m，为了由)(tf的采样信号)(tfs不失真地重构)(tf，由时域采样定理知采样间隔msT，这种采样就被称为欠采样，重构的信号被称为欠采样重构信号。利用MATLAB的抽样函数tttSinc)sin()(来表示)(tSa，有)/()(tSinctSa。据此可知：nscscsccssnTtSincnTfTtSaTtftf)]([)()(*)()(（5）重构：从取样信号)(nx重构原信号是一个重要的问题。理想情况下，序列经02FFs（奈奎斯特速率）取样，再经理想的低通滤波（截止频率为sF）后，可重构出出其原信号。这时采用的内插公式为)]([sin)()(snsanTtFcnxtx（6）6．设计的思路连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时间信号进行采样，是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以得到采样点上的样本值，信号被采样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了采样信号的频谱。在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。四．实验内容这次实验需要应用MATLAB软件实现对连续带限信号)(tSa的采样及有采样恢复)(tSa的防真重构，利用Simulation建立模型。首先利用MATLAB的构建所需要函数，用抽样函数tttSinc)sin()(来表示)(tSa，有)/()(tSinctSa。根据采样定理对)(tSa分别进行临界采样、过采样和欠采样欠采样，并观察输出图形。再将临界采样信号，过采样信号及欠采样信号以及进行防真重构，得出重构图形。并将重够信号与原信号进行比较，观察误差，并做出具体分析。具体程序以及步骤如下：1．临界采样及其重构当采样频率ms2时，称为临界采样。据此可知：下列程序实现对信号Sa(t)的临界采样及由采样信号恢复Sa(t)。wm=1;wc=wm;Ts=pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-120:120;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-25:Dt:25;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));t1=-25:0.5:25;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1,'b');xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');grid;程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi)%利用sinc函数生成函数Sa(t)Pi%圆周率n=-120:120;%时域采样点t=-25:Dt:25%产生一个时间采样序列fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))))%信号重构sinc(t1/pi)%绘制f1的非的非零样值向量plot(t,fa)%绘制fa的图形stem(t1,f1)%绘制一个二维杆图运行结果如下：图6临界采样信号及其重构信号2．过采样及其重构：当ms2时则称采样为过采样，所以令wm=1，wc=1.1*wm，Ts=0.5*pi/wm，ws=2*pi/Ts则下列程序实现对信号Sa(t)的临界采样及由采样信号恢复Sa(t)。wm=1;wc=1.1*wm;Ts=0.5*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-120:120;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-25:Dt:25;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-25:0.5:25;f1=sinc(t1/pi);subplot(3,1,1);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');subplot(312);plot(t,fa);xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error,'r');xlabel('t');ylabel('error(t)');title('过采样信号与原信号的误差error(t)');程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi)%利用sinc函数生成函数Sa(t)error=abs(fa-sinc(t/pi));%求重构信号与原信号误差f1=si