含参量积分的分析性质及其应用

-1-含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期：2012年11月5日-2-含参量积分的分析性质及其应用1.含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1若二元函数),(yxf在矩形区域],[],[dcbaR上连续,则函数x=dcdyyxf),(在[a,b]上连续.例1设)sgn(),(yxyxf（这个函数在x=y时不连续）,试证由含量积分10),()(dxyxfyF所确定的函数在),(上连续.解因为10x,所以当y0时,x-y0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,xy则101)(dxyF.当10y时,f(x,y)=0,x=y,1,xy则yyydxdxyF01.21)1()(1,y0当y1时,f(x,y)=-1,则101)1()(dxyF,即F(x)=1-2y,0y0-1y1又因).1(1)(lim),0(1lim10FyFFyyF(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(上连续.例2求下列极限：（1）dxax11220lim;(2)2020coslimxdxx.解（1）因为二元函数22x在矩形域R=[-1,1][-1.1]上连续,则由-3-连续性定理得dxax1122在[-1,1]上连续.则1122110112201limlimdxxdxaxdxax.（2）因为二元函数axxcos2在矩形域]2,2[]2,0[R上连续,由连续性定理得,函数202cosaxdxx在]2,2[上连续.则.38coslim2020220dxxaxdxx例3研究函数)(xFdxyxxyf1022)(的连续性,其中f（x）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解对任意00y,取0,使00y,于是被积函数22)(yxxyf在],[]1,0[00yyR上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F（y）在区间],[00yy上连续,由0y的任意性知,F（y）在),0(上连续.又因dxyxxyfdxyxxyfyF10221022)()()(,则F（y）在)0,(上连续.当y=0处0)(0yF.由于)(xf为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m0.ymdxyxmydxyxxyfyF1arctan)()(10221022,从而04)(lim0myFy,但F(y)在y=0处不连续,所以F（y）在),0(),(上连续,在y=0处不连续.定理2设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|bxaxdyxc),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数F(x,y)=)()(),(xdxcdyyxf在[a,b]上连续.例4求12201limxdx.解记1221)(xdxI.由于2211,1,x都是和x的连续函数,由定理2知)(I在0处连续,所以41)0()(lim1020xdxII.例5证明函数dxeyFyx0)(2)(在),(上连续.证明对),(y,令x-y=t,可推得-4-00000)(2)(22222yyttttyxdtedtedtedtedxeyF.对于含多量正常积分02ytdte,由连续性定理可得02ytdte在),(上连续,则dxeyFyx0)(2)(在),(上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3若函数fyx,与其偏导数xfyx,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则x=dyyxfdc),(在[a,b]上可微,且dyyxfxdyyxfdxddcdc),(),(.定理4设fyx,,xfyx,在R=[a,b]*[p,q]上连续,cx,dx为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数Fx=)()(),(xdxcdyyxf在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('xcxcxfxdxdxfdyyxfxFxdxcx定理5若函数fyx,及xfyx,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('ya及)('yb皆存在,并且a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b(c≤y≤d),则)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(ybyayybyayayyafybyybfdxyxfdxyxfdydyF.证明考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000yFyFyFdxyxfdxyxfdxyxfyFyayaybybybyao.现在分别考虑)3,2,1)((iyFi在点0y处得导数.由定理5可得)()(00'100),()(ybyaydxyxfyF.由于0)(02yF,所以dxyyyxfyyyFyyyFyFyFybybyyyyoyyo)()(0020220;'2000),(lim)(lim)()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20yfyyybybyFyy.这里在)(yb和)(0yb之间.再注意到fyx,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2yybfybyF.-5-同样可以证明]),([)()(000'0'3yyafyayF于是定理得证.例6设,sin)(2dxxyxyFyy求)('yF.解应用定理5有yyyyyyxdxyFyy223'sin1sin2cos)(2yyyyyyxyy23sinsin2sin2yyy23sin2sin3.例7设)(xf在0x的某个邻域U上连续,验证当Ux时,函数dttftxnxnx)()()!1(1)(10（1）的n阶导数存在,且).()()(xfxn解由于（1）中被积函数)()(),(1tftxtxFn及其偏导数),(txFx在U上连续,于是由定理4可得xnnxfxxndttftxnnx012')()()!1(1)())(1()!1(1)(xndttftxn02.)()()!2(1同理xnnxfxxndttxnnx013'')()()!1(1))(2()!2(1)(xndttftxn03.)()()!3(1如此继续下去,求得k阶导数为xknkdttftxknx01)(.)()()!1(1)(特别当1nk时有-6-xndttfx0)1(,)()(于是).()()(xfxn例8计算积分.1)1ln(102dxxxI.解考虑含参量积分.1)1ln()(102dxxx显然,)1(,0)0(I且函数21)1ln(xx在R=[0,1][0,1]上满足定理3的条件,于是102'.)1)(1()(dxxxx.因为),11(11)1)(1(222xxxxxx所以)(')111(11101010222dxxdxxxdxx])1ln()1ln(21arctan[1110102102xxx)].1ln(2ln214[112因此10')(d102)]1ln(2ln214[11d)1(arctan2ln21)1ln(810102)1(2ln82ln8)1(2ln4.另一方面10'),1()0()1()(d所以.2ln8)1(I1.3含参量正常积分的可积性定理6若fyx,在矩形区域R=ba,×dc,上连续,则x和x分别在-7-ba,和dc,上可积.其中x=dcyxf,dy,xba,,x=bayxf,dy.这就是说：在fyx,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：dxdyyxfbadc,与dydxyxfdcba,,简便记为dyyxfdxbadc,与dxyxfdydcba,,前者表示fyx,先对y求积然后对x求积,后者则表示先对x求积再对y求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在fyx,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若fyx,在矩形区域R=ba,×dc,上连续,则dyyxfdxbadc,=dxyxfdydcba,.定理7若fyx,在矩形区域R=ba,×dc,上连续,gx在ba,上可积,则作为y的函数dxxgyxfba,在dc,上连续,且dyyxfdxxgdccba,=dxxgyxfdydcba,.注意推论中闭区间dc,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9求I=dxxxxab10ln（ba0）.解由xxxdyxabbayln得I=dxdyxbay10=10baydyxdx,因为yxyxf,在矩形区域ba,1,0上连续,由定理可得I=dxxdybay10=dyyba11=lnab11.例10试求累次积分dyyxyxdx101022222与101022222dxyxyxdy,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：dyyxyxdx101022222=dxdyyxyx101022222=dxyxyxdyyxdy1010102222222=dxyxydyxdy10101022221=dxx10211=0arctan1arctan=4.101022222dxyxyxdy=dxxyxydy101022222,由dyyxyxdx101022222=4,同理可得-8-dxxyxydy101022222=4,所以101022222dxyxyxdy=–4.即dyyxyxdx101022222101022222dxyxyxdy,这与定理不符.因为222220,0,limyxyxyx=2222220,0,2limyxyyxyx=2222220,0,21limyxyyxyx不存在,所以22222,yxyxyxf在点0,0处极限不存在,即在矩形区域1,01,0上不连续,不满足定理的条件.例11应用积分号下的积分法求积分,dxxxxxabln1lnsin100ab.解令xxxxxgabln1lnsin,xxxdyxabbayln.因为,01,00,0lim,0lim10ggxgxgxx所以xg在1,0上连续.所以dxxxxxabln1lnsin10=10xg=dxdyxxbay101lnsin.令yxf,=yxx1ln