实验一ARMA模型建模一、实验目的学会检验序列平稳性、随机性。学会分析时序图与自相关图。学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计,以及掌握利用ARMA模型进行预测的方法。学会运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。二、基本概念宽平稳:序列的统计性质不随时间发生改变,只与时间间隔有关。AR模型:AR模型也称为自回归模型。它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测,自回归模型的数学公式为:1122tttptptyyyy式中:p为自回归模型的阶数i(i=1,2,,p)为模型的待定系数,t为误差,ty为一个平稳时间序列。MA模型:MA模型也称为滑动平均模型。它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。滑动平均模型的数学公式为:1122ttttqtqy式中:q为模型的阶数;j(j=1,2,,q)为模型的待定系数;t为误差;ty为平稳时间序列。ARMA模型:自回归模型和滑动平均模型的组合,便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA,数学公式为:11221122tttptptttqtqyyyy三、实验内容(1)通过时序图判断序列平稳性;(2)根据相关图,初步确定移动平均阶数q和自回归阶数p;(3)对时间序列进行建模四、实验要求学会通过各种手段检验序列的平稳性;学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q,学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计,学会利用信息准则对估计的ARMA模型进行诊断,以及掌握利用ARMA模型进行预测。五、实验步骤1.模型识别(1)绘制时序图在Eviews软件中,建立一个新的工作文件,500个数据。通过Eviews生成随机序列“e”,再根据“x=0.8*x(-1)-0.4*x(-2)+e”生成AR(2)模型序列“x”,默认x(1)=1,x(2)=2,得到下列数据,由于篇幅有限。只展示一部分。图一:x的数据图对序列x进行处理。首先,生成时序图二,初步判断其平稳性:图二:时序图通过上图可知,此序列为平稳非白噪声序列,可以对其进行进一步的处理分析,进而建模。2)绘制序列相关图(滞后阶数为22阶)图二:序列自相关和偏自相关图从相关图看出,自相关系数迅速衰减为0,偏自相关系数二阶截尾,说明序列平稳。当Q统计量大于相应分位点,或该统计量的P值小于0.05时则可以以0.95的置信水平拒绝原假设,认为该序列为非白噪声序列;否则,接受原假设,认为该序列为纯随机序列。而由下图可以看出Q统计量足够大且P统计量足够小,满足拒绝原假设的条件,认为该序列为非白噪声序列。故可以对序列采用B-J方法建模研究。3)ADF检验序列的平稳性在经过上面直观判断后,下面通过统计检验来进一步对其进行证实,在如下对话框中选择对常数项,不带趋势的模型进行检验后点击ok,出现图五,由图五中统计量可得,拒绝存在一个单位根的原假设,序列平稳。图四图五:ADF检验4)模型定阶由图三可以看出,偏自相关系数在k=2后突变为0,且后面的值均在0附近,故可判断其偏自相关系数明显为2阶结尾,可尝试用AR(2)进行拟合。而自相关系数开始渐变,且后面还有接近甚至稍大于两倍标准差的(已在途中用红圈标出),故一方面可判断其拖尾;另一方面,k=3后自相关系数突然变为几乎为0,后面基本都在2倍标准差内浮动,可认为其有4阶截尾的嫌疑。故后面会对AR(2)、MA(4)以及ARMA(2,4)分别进行考虑。点击View/DescriptiveStatistics/HistogramandStates对原序列做描述统计分析得到图六,可见序列均值为0.055665,不为0,但由于通常是对0均值平稳序列做建模分析,故需要在原序列基础上生成一个新的0均值序列。点击主菜单Quick/GenerateSeries,在对话框中输入赋值语句y=x-0.055665,点击ok生成新序列y,故所得序列y是0均值的平稳非白噪声序列。重复上面操作序列y进行描述统计分析得到图七,由于y相当于对序列x的平移,故统计特性本质上未发生改变,所以可通过分析y来得到x的特性。图六:原序列作描述统计分析图七:Y序列作描述统计分析2.模型参数估计1)尝试AR模型。由上面通过识别所确定的阶数2,可以初步建立AR(2)。在主窗口输入lsyar(1)ar(2),其中ar(i)(i=1,2)表示自回归系数,得到图9,即得模型估计结果和相关诊断统计量。由伴随概率可知,AR(1)、AR(2)均高度显著,表中最下方给出的是滞后多项式的倒数根,只有这些值都在单位圆内时,过程才平稳。由表可知,这三个根都在单位圆内。另外,表中还有其他有价值的统计量:AIC、SC准则是选择模型时需要参考的重要指标,其值越小越好。DW统计量是对残差的自相关检验统计量,在2附近,说明残差不存在一阶自相关。得到的自回归模型如下:12y0.731404y0.4014467yttte图八:AR(2)2)尝试MA模型(此时假定其自相关系数拖尾)根据上面的估计再参照上面的操作步骤:在主窗口输入lsyma(1)ma(2)ma(3)ma(4),其中ma(i)(i=1,2,3,4)表示自回归系数,得到图九图九:MA(4)模型从估计结果的相伴概率可知,ma(1)ma(2)ma(3)ma(4)的系数均高度显著表中最下方是滞后多项式的倒数根,可见这些值都在单位圆内,故平稳。得到的结果如下1234XE0.730641E0.136574E0.215130E0.117358Etttttu(3)尝试ARMA模型由模型定阶可知,p可能等于2,q可能等于4,此处根据不同组合结果选择最优模型。在方程定义空白区键入LSyar(1)ar(2)ma(1)ma(2)ma(3)ma(4),即得到参数估计结果见图十:图十:ARMA(2,4)由参数估计结果看出,各系数均不显著,说明模型不适合适合拟合ARMA(2,4)模型。经过进一步筛选,逐步剔除不显著的滞后项或移动平均项,最后得到如下ARMA(2,4)模型:图十一:ARMA(2,4)综上可见,我们可以对同一个平稳序列建立多个适合模型,但比较AIC和SC的值,以及综合考虑其他检验统计量,考虑模型的简约原则,我们认为AR(2)模型是较优选择。结果为:12y0.731404y0.4014467yttte3.模型检验参数估计后,对拟合模型的适应性进行检验,即对模型残差序列进行白噪声检验。若残差序列不是白噪声,说明还有重要信息没被提取,应重新设定模型。对残差进行纯随机性检验,也可用针对残差的2检验。通过两种方法进行2检验a.对模型的残差序列resid进行相关图分析。b.用Eviews作出残差相关图,如图十二。相关图显示,残差为白噪声。也显示拟合模型有效,模型拟合图见图十三。图十二:AR(2)模型残差相关图图十三:ARMA(2,4)模型拟合图4.模型预测在得到模型后,尝试运用模型进行短期预测,此处预测来三期的数据。首先扩展样本期,在命令栏输入expand12503,回车,样本序列增加至2503,最后共有三个变量值为空。在方程估计窗口点击Forecast,出现图14,预测方法常用有两种:Dynamicforecast和Staticforecast,前者根据所选择的一定的估计区间,进行多步向前预测;后者只滚动的进行向前一步预测,即每预测一次,用真实值代替预测值,加入到估计区间,再进行向前一步预测。选择Dynamicforecast,点击ok,出现图15预测对话框:图十四图十五:Dynamicforecast预测对话框软件默认将预测值放在YF中。下面观察原序列Y和YF之间的动态关系。同时选中Y和YF,击右键,点open/asgroup,然后点击view/graph,则出现图16,保持默认值不变,点击“确定”,出现图17,可见,动态预测值几乎是一条直线,说明动态预测效果很不好。图十六图十七:动态预测效果图进行静态预测,见图18,预测值仍然存放在xf中,做x和xf图19,可以看出静态预测效果不错。图十八:静态预测图图十九:预测效果图经过向前1步预测,y发的未来1期预测值为-0.795979,考虑x的均值为0.055665,所以X的向前一步预测为-0.740314。孔凡伟(PB10204014)