线性代数期末考试复习考点—同济大学(第六版)

CompanyLogo主讲教师:张恩路《线性代数》LinearAlgebra第一章行列式1.牢记行列式的6条性质；2.会利用行列式的性质计算行列式的值；3.掌握余子式和代数余子式的定义及按行（列）展开定理；4.会利用按行（列）展开定理计算行列式的值；n阶行列式的性质性质1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则该行列式等于两个行列式之和.性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即11221,2,,iiiiininaAaAaADin推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjnaAaAaAij1122,0,niinijjjDijaAaAaAij1122,0,ijijinjnDijaAaAaAij综上所述，有同理可得第二章矩阵及其运算1.掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘及矩阵与矩阵的运算；3.会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程；4.会利用分块矩阵的性质计算矩阵的逆矩阵。2.掌握矩阵的转置性质、方阵的行列式性质及逆矩阵的性质；转置矩阵的运算性质(1)();TTAA(2)();TTTABAB(3)();TTAA(4)().TTTABBA方阵的行列式定义：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或detA.运算性质(1);TAA(2);nAA(3);ABAB.ABBA433,为四阶行列式AAA如果n阶方阵A、B可逆，那么、、与AB也可逆，且11(),AA1ATA(0)A11()(),TTAA111(),AA111().ABBA逆矩阵的性质EAAAAA||**11||||AA分块对角矩阵的性质|A|=|A1||A2|…|As|若|As|≠0，则|A|≠0，并且12sAAAA111121sAAAA第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行最简形矩阵；5.掌握矩阵秩的一些最基本的性质；7.会讨论线性方程组系数矩阵的待定系数来判定线性方程组是否有解情况。2.会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵；3.会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程；4.会用初等行变换求矩阵的秩；6.掌握线性方程组有解的判定条件；定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；ijrr以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；irk某一行加上另一行的k倍，记作.ijrkr210104011030001300000F1112140-11100002300000F行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：行阶梯型矩阵若满足：1.非零行的首个非零元为1;2.这些非零元所在的列的其它元素都为零.（一）初等变换与矩阵乘法的关系定理1设A,B是一个m×n矩阵，则(1)的充要条件是存在可逆矩阵P，使得PA=B；(2)的充要条件是存在可逆矩阵Q，使得AQ=B；(3)的充要条件是存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B；~cAB~rAB~AB推论1方阵A可逆的充要条件是.推论2方阵A可逆的充要条件是.推论3方阵A可逆的充要条件是.~rAEEAc~EA~)(EA)(1AE初等行变换（二）初等变换法求逆矩阵.1BA矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵（三）初等变换的其他应用)(BA)(1BAE初等行变换矩阵的秩的性质①若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．②R(AT)=R(A)．③若A~B，则R(A)=R(B)．④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)．⑤max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)．特别地，当B=b为非零列向量时，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1．⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．⑦R(AB)≤min{R(A),R(B)}．⑧若Am×nBn×l=O，则R(A)＋R(B)≤n．定理1n元线性方程组AX=b①无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；②有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；③有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n．定理3n元齐次线性方程组AX=0①只有零解的充分必要条件是R(A)=n；②有非零解的充分必要条件是R(A)n．定理2线性方程组AX=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)．无解否是无限多个解否是唯一解包含n-R(A)个自由变量的通解()()RARB()RAn写出增广矩阵B=（Ａ,ｂ）行最简形矩阵求解线性方程组的步骤其中n为线性方程组未知数的个数齐次线性方程组无穷多个解否是唯一解包含n-R(A)个自由变量的通解()RAn第四章向量组的线性相关性1.掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线性相关性；2.会求向量组的秩及向量组的最大无关组；3.掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构判定方程组的解；4.会求齐次线性方程组的基础解系；5.会利用矩阵的秩求方程组的解空间维数；6.会利用基变换公式与坐标变换公式及过度矩阵求解相关问题。向量组的线性组合定义2：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,k2,…,km，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数1,2,…,m，使得b=1a1+2a2+…+mam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．m元齐次线性方程组Ax=0有非零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m．向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．线性相关性的判定向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．m元齐次线性方程组Ax=0只有零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．相关结论(1)若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1也线性相关．（部分相关，整体相关）其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．．（整体无关，部分无关）最大无关组的求法:将向量组a1,a2,…,am通过初等行变换化成行阶梯形，找到矩阵A的一个最高阶非零子式Dr则Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行是A的行向量组的一个最大无关组．注1.最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列.2.向量组的最大无关组一般是不唯一的．3.向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的．齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=x1，x=x2是齐次线性方程组Ax=0的解，则x=x1x2还是Ax=0的解．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0的解，k为实数，则x=kx还是Ax=0的解．结论：若x=x1,x=x2,...,,x=xt是齐次线性方程组Ax=0的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt还是Ax=0的解.性质3：若x=h1，x=h2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则x=h1−h2是对应的齐次线性方程组Ax=0（导出组）的解．性质4：若x=h是非齐次线性方程组Ax=b的解，x=x是导出组Ax=0的解，则x=x+h还是Ax=b的解．例如：若x=h1，x=h2是Ax=b的解，则：（1）h1—h2是齐次线性方程组Ax=0的解；（2）（h1+h2）/2是非齐次线性方程组Ax=b的解.非齐次线性方程组的解的性质基础解系的概念定义2齐次线性方程组Ax=0的一组解向量x1,x2,...,xr如果满足①x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,...,xr的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．注：齐次线性方程组的基础解系不唯一.齐次线性方程组的解集的最大无关组为基础解系．定理7：设m×n矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n−r．已知n元齐次线性方程组的解集为S1={x|Ax=0}.则齐次线性方程组Ax=0的基础解系是S1的一个基，故S1的维数等于n－R(A)．123237eee定义3如果在向量空间V中取定一个基a1,a2,...,ar，那么V中任意一个向量x可唯一表示为x=1a1+2a2+…+rar数组1,2,...,r称为向量x在基a1,a2,...,ar中的坐标．例3的列向量组是R3的一个基，123100,,010001Eeee100203170001237b那么b在基e1,e2,e3中的坐标基变换公式与坐标变换公式，过度矩阵在R3中取定一个基a1,a2,a3，再取一个新基b1,b2,b3，设A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)．①求用a1,a2,a3表示b1,b2,b3的表示式(基变换公式)；②求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).解：(1)根据向量组B能由向量组A线性表示的充要条件，只需求解矩阵方程AX=B即可.解得X=A-1B,即(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P其中P=A-1B，称为基A到B的过渡矩阵(transitionmatrix).111232123233(,,)(,,)yzxaaaybbbzyz（2）设x∈R3，且321321zzzByyyA3211321yyyABzzz3211321yyyPzzz故是从旧坐标到新坐标的坐标转换公式.及101,101,111321aaa343,432,121321bbb例如：已知R3的两组基为（1）求基到基的过度矩阵P；321,,aaa321,,bbb（2）向量x在基中的坐标为x在基中的坐标.321,,aaa,)3,1,1(T321,,bbb第五章相似矩阵1.掌握向量特征值的概念和性质；3.掌握两个矩阵相似的概念和性质；4.会利用相似矩阵的概念、性质及矩阵的特征值的性质计算相关问题.2.会求向量的特征值和特征向量；一、基本概念定义1：设A是n阶矩阵，如果数和n维非零向量x满足Ax=x，那么这样的数称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值的特征向量．Ax=x=Ex非零向量x满足(A−E)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式|A−E