固体物理(胡安)第二版课后答案

伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文1第一章第一章第一章第一章晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。1.2在正交直角坐标系中，若矢量kljlilRl����321++=，i�，j�，k�为单位向量。()3,2,1=ili为整数。问下列情况属于什么点阵？（a）当il�为全奇或全偶时；（b）当il�之和为偶数时。解：112233123lRlalalaliljlk=++=++�������()...2,1,0,,321±±=lll当l为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当321lll++之和为偶数时是面心立方结构1.3在上题中若=++321lll奇数位上有负离子，=++321lll偶数位上有正离子，问这一离子晶体属于什么结构？解：是离子晶体，属于氯化钠结构。1.4（a）分别证明，面心立方（fcc）和体心立方（bcc）点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等，对fcc为，对bcc为（b）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条线之间夹角θ均为'1cos109273arc⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠�'1cos109273arc⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠�解:（1）对于面心立方()12aajk=+���()22aaik=+���()32aaij=+���伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文213222aaaa===���()1212121602aaCOSaaaa⋅⋅===�����()2323231602aaCOSaaaa⋅⋅===�����()1360COSaa⋅=���（2）对于体心立方()12aaijk=−++����()22aaijk=−+����()32aaijk=+−����12332aaaa===���()12'12121129273aaCOSaaaa⋅⋅==−=�����()'1313131129273aaCOSaaaa⋅⋅==−=�������()'2312927COSaa⋅=���（3）对于金刚石晶胞()134aijkη=++����()234aijkη=−−����()2212122122314934aCOSaηηηηηη−⋅⋅===−����1.5证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l）的晶面族间距为212222234−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=clakhkhd伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文3证明:aba==��元胞基矢的体积aai=��cos60cos301322baijaiaj=−+=−+�������cck=��20033022200aaaaccΩ=−=倒格子基矢)33(2][2jiacba�����+=Ω×=∗ππjaacb����334][2ππ=Ω×=∗kcbac����ππ2][2=Ω×=∗倒格矢：***hklGhakblc=++����晶面间距***222clbkahGdhklhkl���++==ππ()()()2222222222hakblchakblchkabklbchlac∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗++=+++⋅+⋅+⋅���������22423aaπ∗⎛⎞=⎜⎟⎝⎠�22423baπ∗⎛⎞=⎜⎟⎝⎠�222ccπ∗⎛⎞=⎜⎟⎝⎠�2223abaπ∗∗⎛⎞⋅=⎜⎟⎝⎠��0bc∗∗⋅=��0ac∗∗⋅=��122222222122222242424242333343hkldhklhkaaaahkkllacππππ−−⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎞++=+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文41.6证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图：1aax=��222abaxy=+����3acz=��2450,,,,3333mππππθ==初级晶胞体积:2cabcV=倒易点阵的基矢：1232112cbaaxyVabππ⎛⎞=×=−⎜⎟⎝⎠�����23124ycbaaVcππ=×=����31222cbaaZVcππ=×=����这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。证明：倒易点阵初级元胞的体积:cV是初基元胞的体积()123cVbbb=⋅×���1232cbaaVπ=×���2312cbaaVπ=×���3122cbaaVπ=×���()123cVaaa=⋅×���而()()()(){}223311223121311222ccbbaaaaVaaaaaaaaVππ⎛⎞×=×××⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎡⎤⎡⎤=×⋅−×⋅⎜⎟⎣⎦⎣⎦⎝⎠��������������()()()()ABCDABDCABCD×××=×⋅−×⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由于()0113=⋅×aaa���()21231212cbbaaaaVπ⎛⎞×=×⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠�而()312cVaaa=×���()22312cbbaVπ∴×=伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文5()()()()()212311312323222cccbbbabVaaaVVπππ×=⋅=×=��������或:()()()31231232bbbaaaπ×=×������现在证明：()bbbbba������3211212×⋅×=π()bbbbba������3211322×⋅×=π()bbbbba������3212132×⋅×=π又()22312cbbaVπ×=���令()()()()211123211232212cbbcbbbaVbbbπππ×=⋅×⎡⎤=⎢⎥⋅×⎢⎥⎣⎦����������又：()()31232cbbbVπ⋅×=���代入()()3111322ccVcaaVππ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦���同理()()23211322abbbbbc�������=×⋅×=π()()33212132abbbbbc�������=×⋅×=π1.8从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。解：''2cosABamaθ==cos12mθ=≤30,,22mππθ==2451,,,,3333mππππθ==2,,2mθππ==1.9试解释为什么：伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文6（a）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。（b）立方晶系中没有底心立方点阵。（c）六角晶中只有简单六角点阵。解：（a）因为四方晶系加底心，会失去4次轴。（b）因为立方晶系加底心，将失去3次轴。（c）六角晶系加底心会失去6次轴。1.10证明：在氯化钠型离子晶体中晶面族（h,k,l）的衍射强度为22,,ABhklABffIff⎧+⎪⎪−⎨⎪⎪⎩当（h,k,l）为偶数时当（h,k,l）为奇数时0，其它情况其中Af、Bf分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明KCL晶体中h,k,l均为奇数的衍射消失？证明：Nacl初基原胞中有Na+和Cl−两种离子。()111r:0,0,0,,222iAB⎛⎞⎜⎟⎝⎠�A、B分别代表和。因此几何结构因子：()()()112233123212322123123,,,,iiiihxhxhxiihhhABABABFhhhfeffeffhhhffhhhππ−++−++==++++⎧=⎨−++⎩∑为偶为奇射强度：()2123IFhhh∝,对于123hhh++为奇数的衍射面ABff=则会消光。1.11试讨论金刚石结构晶体的消光法则。解：金刚石结构中，金刚石单胞有8个碳原子，坐标为：()1111111113333313131330,0,0,,,0,,0,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,222222444444444444444⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠几何结构因子()1122332jjjinhxhxhxhkljFfeπ−++=∑()()(){}()()()()1expexpexp1exp2exp2expexp12hklFfinhkinklinlkfinhklinhkinklilhπππππππ=+−++−++−+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎡⎤+−++⋅⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎧⎫⎡⎤−⋅++−++−++⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文7()()()(){}1expsin1coscos22hklnnFfihklihklnhknklππππ⎧⎫⎡⎤=+−++−++++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭hklI∝()()2221cossin22hklfhklhklnnFIhklhklππ⎧⎫⎪⎪⎡⎤=++++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭衍射强度不为零：（1）nhnknl都为基数。（2）nhnknl都为偶数（包括零）,且()12nhnknl++也为偶数。如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3，2，1）或（2，2，1）的一级衍射斑，也不可能有（4，4，2）这样的二级衍射斑点。1.12证明：在倒易空间中，当落于一倒格矢垂直平分面上时，发生布拉格反射。证明：当波矢满足22hkkk+=��时有02hhkkk⎛⎞⋅+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠���∴令'hkkk=+���∴'K�刚好是hk�中垂直面的反射波。又∵12hdkπ=�,由图知：2sinsin2hkkπθθλ==�2sindmθλ∴=(其中'hhkmk=��)DEε=��1.13试证明：具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量：0αβαβεεδ=证明：由DEε=��111213212223313233εεεεεεεεεε⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠各物理量在新旧坐标中：'''DEε=��'pAD=����'EAE=�����1DAAEAAEεε−+==���������(由于对称操作''DEε=��)'1AAAAεεε−+∴==伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文8xA是绕X(a)轴转动90�是一个对称的操作100001010xA⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦yA是绕Y(b)轴转动90�也是一个对称操作001010100yA−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦将代入'AAεε+=11222323330000εεεεεε⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠再将代入'AAεε+=111111000000εεεε⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1.14若的立方结构如图所示，设原子的散射因子为，原子的散射因子为，（a）求其几何结构因子?hklF=（b）找出（h,k,l）晶面族的X光衍射强度分别在什么情况下有223ABhklABFfIFf⎧+⎪∞⎨−⎪⎩(c)设ABff=，问衍射面指数中哪些反射消失？试举出五种最简单的。解：结构中，单胞中含有3个B原子，1个A原子。()1232jjjihxkxlxhkljFfeπ−++=∑取()1111110,0,0,,0,0,0,,222222AB⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∴()()()()ihkiklihlhklABFffeeeπππ−+−+−+=+++当h+k与h+l，k+l均为偶数时3hklABFff=+当h+k，h+l，k+l其中两个为奇数，一个为偶数时hklABFff=−当ABff=时有（0，0，1）（0，1，0）（1，0，0）（0，1，1）伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文9（1，1，0）（1，0，1）衍射面指数的消光。1.15在某立方晶系的铜射线粉末相中，观察到的衍射角有下列关系：1282222222222222222222222223:4:8:11:12:16:19:20sin:sin..