[2020理数]第四章--第三节-三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质[考纲要求]1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在－π2，π2内的单调性．123Contents突破点一三角函数的定义域和值域突破点二三角函数的性质课时跟踪检测返回突破点一三角函数的定义域和值域返回抓牢双基·自学回扣[基本知识]三角函数正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx图象定义域{x|x∈R，且x≠，k∈ZRRkπ＋π2返回三角函数正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx值域_____________R最值当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值－1当且仅当x＝时，取得最大值1；当且仅当x＝时，取得最小值－1[－1,1][－1,1]x＝π2＋2kπ(k∈Z)x＝－π2＋2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z)返回[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝sinx在x∈0，π2内的最大值为1.()(2)函数y＝tanπ4－x的定义域为x≠－π4.()(3)函数y＝cosx的定义域为x∈－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z.()答案：(1)×(2)×(3)×返回二、填空题1．y＝2sinx－2的定义域为________________________．解析：要使函数式有意义，需2sinx－2≥0，即sinx≥22，借助正弦函数的图象(图略)，可得π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ，k∈Z，所以该函数的定义域是π4＋2kπ，3π4＋2kπ(k∈Z)．答案：π4＋2kπ，3π4＋2kπ(k∈Z)返回2．函数y＝2cos2x＋π3，x∈－π6，π6的值域为________．解析：∵－π6xπ6，∴02x＋π32π3，∴－12cos2x＋π31，∴－12cos2x＋π32.∴函数y＝2cos2x＋π3，x∈－π6，π6的值域为(－1,2)．答案：(－1,2)返回3．函数y＝tanπ2－xx∈－π4，π4，且x≠0的值域为________．解析：∵－π4≤x≤π4且x≠0，∴π4≤π2－x≤3π4且π2－x≠π2.由函数y＝tanx的单调性，可得y＝tanπ2－x的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)返回研透高考·深化提能[全析考法]考法一三角函数的定义域[例1](2019·德州月考)x∈[0,2π]，y＝tanx＋－cosx的定义域为()A.0，π2B.π2，πC.π，3π2D.3π2，2π返回[解析]法一：由题意，tanx≥0，－cosx≥0，x∈[0，2π]，所以函数的定义域为π，3π2.故选C.法二：x＝π时，函数有意义，排除A、D；x＝54π时，函数有意义，排除B.故选C.[答案]C返回[方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒]解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．返回考法二三角函数的值域(最值)[例2](1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域为________．返回[解析](1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)依题意，f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1，因为x∈0，π2，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝32时，f(x)max＝1.返回(3)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝1－t22，且－1≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．[答案](1)B(2)1(3)[－1,1]返回[方法技巧]三角函数值域或最值的3种求法直接法形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函数，直接利用sinx，cosx的值域求出化一法形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)换元法形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)返回[集训冲关]1.[考法一]函数y＝log2(sinx)的定义域为________．解析：根据题意知sinx0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．答案：(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)2.[考法二](2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________．解析：f(x)＝2cosx＋sinx＝5255cosx＋55sinx＝5sin(x＋α)(其中tanα＝2)，故函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为5.答案：5返回3.[考法二]求函数y＝sinx＋cosx＋3cosxsinx的最值．解：令t＝sinx＋cosx，则t∈[－2，2]．∵(sinx＋cosx)2－2sinxcosx＝1，∴sinxcosx＝t2－12，∴y＝32t2＋t－32，t∈[－2，2]，∵对称轴t＝－13∈[－2，2]，∴ymin＝f－13＝32×19－13－32＝－53，ymax＝f(2)＝32＋2.返回突破点二三角函数的性质返回抓牢双基·自学回扣[基本知识]函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数奇函数偶函数返回函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性[2kπ－π2，2kπ＋π2]为增；[2kπ＋π2，2kπ＋3π2]为减，k∈Z[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Z(kπ－π2，kπ＋π2)为增，k∈Z对称中心kπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Z对称轴(kπ，0)，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z返回[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝sinx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(3)y＝sin|x|是偶函数．()答案：(1)√(2)×(3)√返回二、填空题1．已知函数f(x)＝cosωx＋π4(ω0)的最小正周期为π，则ω＝________.答案：2返回2．函数y＝cosπ4－2x的单调递减区间为________．解析：由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4，得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．答案：kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)返回3．若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：由已知f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，可得φ3＝kπ＋π2，即φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.答案：3π2返回研透高考·深化提能[全析考法]考法一三角函数的单调性考向一求三角函数的单调区间[例1]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|tanx|；(2)f(x)＝cos2x－π6，x∈－π2，π2.返回[解](1)观察图象可知，y＝|tanx|的单调递增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，单调递减区间是(kπ－π2，kπ]，k∈Z.(2)当2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z时，函数f(x)是增函数；返回当2kπ≤2x－π6≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，k∈Z时，函数f(x)是减函数．因此函数f(x)在－π2，π2上的单调递增区间是[－5π12，π12]，单调递减区间为－π2，－5π12，π12，π2.返回[方法技巧]求三角函数单调区间的2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解图象法画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间[提醒]求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．返回考向二已知单调性求参数值或范围[例2](1)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω等于()A.23B.32C．2D．3(2)(2019·绵阳诊断)若f(x)＝cos2x＋acos(π2＋x)在区间π6，π2上是增函数，则实数a的取值范围为________．返回[解析](1)因为f(x)＝sinωx(ω0)过原点，所以当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32.返回(2)f(x)＝1－2sin2x－asinx，令sinx＝t，t∈12，1，则g(t)＝－2t2－at＋1，t∈12，1，因为f(x)在π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a≤－4.[答案](1)B(2)(－∞，－4]返回[方法技巧]已知单调区间求参数范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解返回考法二三角函数的周期性[例3](2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π[解析]由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosxcos2x＋sin2xcos2x＝sinx·cosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.[答案]C返回[方法技巧]三角函数周期的求解方法公式法(1)三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的最小正周期分别为2π，2π，π；(2)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|图象法利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周