1.2.1基本初等函数的导数公式

第1课时基本初等函数的导数公式•【课标要求】•1．掌握常见函数的导数公式．•2．灵活运用公式求某些函数的导数．•【重难点】•1．基本初等函数的导数公式．(重点)•2．能运用导数定义推导几个常用的函数的导数公式，应用公式计算有关导数．(重难点)原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x2f(x)＝xf′(x)＝12x自学•1．几个常用函数的导数•2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a0，且a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1x1．几种常用函数的导数(1)根据导数定义求导数是最基本的方法．其大致步骤为：首先计算ΔyΔx，并化简；然后观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；最后，ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．(2)对基本初等函数的导数公式的特别说明不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数即可．在学习中，适量的练习对于熟悉公式的应用是必要的，但应避免过量的形式化的运算练习．知识应用利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数．(1)y＝5x；(2)y＝1x3；(3)y＝4x3；(4)y＝log3x；(5)y＝(1－x)(1＋1x)＋x；[思路探索]解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导．解(1)y′＝(5x)′＝5xln5；(2)y′＝1x3′＝(x－3)′＝－3x－4；(3)y′＝(4x3)′＝＝＝344x；(4)y′＝(log3x)′＝1xln3.(5)∵y＝(1－x)(1＋1x)＋x＝1－xx＋x＝1x，∴y′＝.(6)∵y＝(＋1)(－1)＋1＝x3－1＋1＝x3，∴y′＝(x3)′＝3x2.知识应用利用导数公式求曲线的切线方程【例3】(1)求过曲线y＝sinx上点Pπ6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．(2)已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[规范解答](1)∵y＝sinx，∴y′＝cosx，(2分)曲线在点Pπ6，12处的切线斜率是：y′|x＝π6＝cosπ6＝32.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－23，(4分)故所求的直线方程为y－12＝－23x－π6，即2x＋3y－32－π3＝0.(6分)(2)∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，(8分)又∵PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M12，14.(10分)∴所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.(12分)【题后反思】相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．【课堂检测】求下列函数的导数：(1)y＝x7;(2)y＝x10;(3)y＝1x2；(4)y＝3x.解(1)y′＝7x6；(2)y′＝10x9；(3)y＝x－2，∴y′＝－2x－3；(4)y＝，y′＝.【课堂检测】求曲线y＝cosx在点Aπ6，32处的切线方程．解∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴y′|x＝π6＝－sinπ6＝－12，∴在点A处的切线方程为y－32＝－12x－π6，即x＋2y－3－π6＝0.误区警示未检验点是否在曲线上而致误【示例】已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0,32)作曲线y＝f(x)的切线，求切线的方程．[错解]由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点的导数值，而f′(x)＝6x2－3，所以k＝f′(0)＝0－3＝－3.所以切线方程为y＝－3x＋32.对于给定的点M，要验证与曲线的位置关系，若已知点是切点，可采用错解中的方法，否则，就需要照本题的正解进行．