1.2.1常数函数与幂函数的导数

中国人民大学附属中学1.2.1常数函数与幂函数的导数1.常数函数的导数设y=f(x)≡C，C为常数，则C’=0.证明：f(x)=C，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0.∴0yxC’=0lim0xyx2.函数y=x的导数设函数y=f(x)=x，x’=00()()()limlim1xxfxxfxxxxxx即x’=1.3.函数y=x2的导数设函数y=f(x)=x2，(x2)’=2200()()()limlimxxfxxfxxxxxx0lim(2)2xxxx即(x2)’=2x.4.函数y=x3的导数设函数y=f(x)=x3，(x3)’=3300()()()limlimxxfxxfxxxxxx2220lim(33)3xxxxxx即(x3)’=3x2.5.函数y=的导数1x设函数y=f(x)=，(x≠0)1x001()()111()'limlim()xxfxxfxxxxxxx2011lim()xxxxx211()'(0)xxx6.函数y=的导数x设函数y=f(x)=(x0)，x00()()()'limlimxxfxxfxxxxxxx01lim()2xxxxxxx1()'(0)2xxx由此我们推测，对任意的幂函数y=xα，当α∈Q时，都有1()'(Q)xx例1．求下列函数的导数：（1）y=x12；（2）；（3）.41yx53yx解：（1）y’=(x12)’=12x11；（2）3253555233'()'()'55yxxxx4554'()'4yxxx（3）例2．设曲线和曲线在它们的交点处的两条切线的夹角为α，求tanα的值.21yx1yx解：联立曲线方程211yxyx解得两曲线的交点为(1，1)。设两曲线在交点处的切线斜率分别为k1，k2，则311121()'|2|2xxkxx22111()'||1xxkxx由两直线的夹角公式得tanα=21121(2)1||||11(1)(2)3kkkk练习题1．f(x)＝1的导数是（）A．0B．1C．不存在D．不确定A2．y’＝f’(x)＝，则函数y＝f(x)可以是下列各式中的哪一个（）A．B．－C．－2x－3D．－21x1x1x312xB3．曲线y＝x3在点P处切线斜率为k，当k＝3时的P点坐标为（）A．(－2，－8)B．(－1，－1)，(1，1)C．(2，8)D．(－，－)2118B4．曲线上一点P(4,－)处的切线方程是（）（A）5x+16y+8=0（B）5x－16y+8=0（C）5x+16y－8=0（D）5x－16y－8=010yxx47A5．已知生产x个单位产品的总成本为G(x)，生产x个单位产品的边际成本为G’(x)，若G(x)=，则生产8个单位产品时，边际成本为（）（A）2（B）8（C）10（D）16288xA6．点P在曲线y=x3－x+上移动时，过P点的切线的倾斜角的取值范围是（）（A）[0,π)（B）(0,)∪[,π)（C）[0,)∪(,]（D）[0,)∪[,π)322222434343D7．某质点的运动方程是s=t3－(2t－1)2，则在t=1时的瞬时速度为。8．已知f(x)=则[f(0)]’=.1011nnnnaxaxaxa－109．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程是。52x2x－5y+3=010．函数y=f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y’＝f’(x)=.2x11．质点运动方程是S＝t4，则质点运动加速度为．a=12t2