21第四章 静态场边值问题

毫米波国家重点实验室信息科学与工程学院东南大学电磁场与电磁波第四章静态场边值问题主要内容边值问题分类静态场方程与边界条件静态场的唯一性定理镜像法静电场的电标位2泊松方程E0EEEE例4.1列出各区域的微分方程020拉普拉斯方程22222222xyz——拉普拉斯算子图4.1三种不同媒质区域的静电场DDE为常数22122333001233静磁场的磁矢位2AJ泊松方程20A拉普拉斯方程0BHJ0A库仑规范BABJBH2AAAJ0J11BBJ为常数静态场位函数满足的泊松方程与拉普拉斯方程只适用于简单媒质数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化规律。静态场与时间无关，其位函数（标量位或矢量位）在有源和无源区分别满足的泊松和拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。给定边界条件求空间任一点的位就是静态场边值问题。此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前几章描述静态场边界上场量变化的边界条件。边值问题定解条件初始条件边界条件自然边界条件边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件Dirichlet第二类边界条件Neumann第三类边界条件22AJ121211212122011ˆˆssnnnnAAAAJ参考点电位有限有限limlimrrrrA已知场域边界上各点位值1(),iiSfsiN已知场域边界上各点电位的法向导数1(),iSigsniN一、二类边界条件的线性组合，即1()(),iSihsniN边值问题分类边值问题研究方法边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法定性分离变量法镜像法、电轴法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大。唯一性是指在给定定解条件下所求得的解是否唯一。静态场是客观存在的，因此位函数满足的微分方程的解必然是存在的。泊松方程和拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。唯一性定理保证了位函数满足的微分方程的解的唯一性。解的存在、稳定及唯一性场的形式场方程场与位的关系位函数方程边界条件静电场恒流电场静磁场静态场方程与边界条件00DEDE00JEJE00BJHBHEEBA2020JA1212121212000ˆˆssnnnnDDEE121200ˆˆnnJJEE1212121212000101ˆˆˆˆssnnnnBBJAAAHHJA20设场中任一点处的位函数和均满足泊松方程，则其差值必满足拉普拉斯方程，即由矢量恒等式对场域求体积分，并利用高斯散度定理为的边界，即由于无穷远处位函数为零，故有唯一性定理导体3导体1导体21S2SNSˆnˆnˆnˆnSV222120u12u122VSVuudvuududvs222uuuuuu2SSVuuduududvssSV1NSSSSSS若边界为第一类边界条件，即上式右边为零，即，积分后得，由自然边界条件或给定的边界条件都可得，即。若边界为第二类边界条件，即进而。结论：静态场边值问题对于给定的边界条件（位函数值或位函数的法向导数值或两者的混合）存在唯一解。唯一性定理2SSVuuududsudvns120u120u12C0C12120iiiSSSunnn12实质:以等效电荷（电流）代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无界均匀空间，进而简化计算。等效电荷（电流）通常处于原电荷（电流）的镜像位置，因此称为镜像电荷（电流），而这种方法称为镜像法。依据：唯一性定理。等效电荷（电流）的引入能够维持原始的边界条件。关键：确定镜像电荷（电流）的大小和位置。局限性：仅对某些特殊边界及特殊的电荷（电流）分布才有可能确定其镜像电荷（电流）。镜像法无限大导体平面hR导体介质PQhRR介质介质hPQQ2020除Q所在点外的区域00044QQRR导体平面及无穷远处SdQDsSdQDsS为包围Q的闭曲面边值问题上半空间边值问题以一个镜像点电荷代替边界的影响，使整个空间填充以介电常数为的均匀媒质，则空间任一点的电位由及共同产生，即无限大导体平面44PQQRRQPQQQQ无限大导体平面的电位为零hR导体介质PQhRR介质介质hPQQ电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。电场线等位线z无限大导体平面根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源、媒质以及边界条件未变。位于无限大导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。无限大导体平面l介质导体ll介质介质对半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。为保证劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如：夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷仅当这种导体劈的夹角等于π的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。半无限大劈形导体平面33Q3QQQQQQ对于上半空间，可用镜像电荷等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的等效原来的点电荷与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为的均匀空间。无限大介质平面h11QQEEnEtEnEtERRh22QEnEtERQ1QQ2h12Qˆnˆt必须使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电位移矢量的法向分量应该保持连续，即各点电荷在分界面上产生的电场强度分别为利用边界条件，求得镜像电荷如下：无限大介质平面tttEEEnnnDDD214ˆRRQE214ˆRQRE224ˆRQRE1212QQ2122QQ根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定与。最终得：无限大介质平面h12Iˆnˆth11IIHRRHh22IHRtttHHHnnnBBB2121II1212IIII